引言
在编程竞赛和算法问题中，我们经常会遇到需要对字符串进行多次转换的问题。本文将介绍一个有趣的问题：给定一个字符串和转换规则，计算经过多次转换后字符串的长度。由于直接模拟会导致性能问题，我们将使用矩阵快速幂来高效解决这个问题。
问题描述
给定：
一个由小写字母组成的字符串
s一个整数
t表示转换次数一个长度为26的数组
nums，其中nums[i]表示字母'a'+i的转换规则
转换规则：
将
s[i]替换为字母表中后续的nums[s[i]-'a']个连续字符如果超过
'z'则回绕到字母表开头
要求返回经过 t 次转换后的字符串长度，结果对 10^9+7 取模。
示例分析
假设：
s = "a"t = 2nums = [3, 1, 1, ..., 1](只有第一个元素是3)
第一次转换：
'a' → 'b' + 'c' + 'd' = "bcd" (长度3)
第二次转换：
'b' → 'c' (长度1)
'c' → 'd' (长度1)
'd' → 'e' (长度1)
总长度 = 1 + 1 + 1 = 3
直接模拟的局限性
直接模拟每次转换的过程对于小的 t 是可行的，但当 t 很大时（比如 10^9），这种方法会非常低效甚至不可行，因为字符串长度会呈指数级增长。
矩阵快速幂解法
思路概述
统计字符频率：记录初始字符串中每个字符的出现次数
构建转换矩阵：表示每个字符如何转换为其他字符
矩阵快速幂：高效计算转换矩阵的
t次幂计算最终长度：将初始频率向量与转换矩阵相乘，求和得到最终长度
详细步骤
1. 统计字符频率
java
long[] count = new long[26];
for (char c : s.toCharArray()) {
count[c - 'a']++;
}
2. 构建转换矩阵
对于每个字符 i，计算它转换为其他字符的分布：
java
long[][] matrix = new long[26][26];
for (int i = 0; i < 26; i++) {
int k = nums[i];
int q = k / 26; // 完整循环次数
int r = k % 26; // 剩余字符数
if (r == 0) {
// 均匀分布
for (int j = 0; j < 26; j++) {
matrix[i][j] = q % MOD;
}
} else {
// 部分循环
int start = (i + 1) % 26;
int end = (i + r) % 26;
for (int j = 0; j < 26; j++) {
boolean inRange;
if (start <= end) {
inRange = (j >= start && j <= end);
} else {
inRange = (j >= start || j <= end);
}
matrix[i][j] = (q + (inRange ? 1 : 0)) % MOD;
}
}
}
3. 矩阵快速幂
java
private long[][] matrixPower(long[][] a, int power) {
long[][] result = createIdentityMatrix();
while (power > 0) {
if ((power & 1) == 1) {
result = multiplyMatrices(result, a);
}
a = multiplyMatrices(a, a);
power >>= 1;
}
return result;
}
4. 计算最终长度
java
long[] finalCount = multiplyVectorMatrix(count, matrixPower);
long total = 0;
for (long num : finalCount) {
total = (total + num) % MOD;
}
return (int) total;
复杂度分析
时间复杂度：O(26^3 * log t)
矩阵乘法：O(26^3)
快速幂：O(log t)
空间复杂度：O(26^2) 用于存储矩阵
完整代码实现
java
import java.util.List;
class Solution {
private static final int MOD = 1000000007;
private static final int SIZE = 26;
public int lengthAfterTransformations(String s, int t, List<Integer> nums) {
int[] numsArray = new int[SIZE];
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
numsArray[i] = nums.get(i);
}
if (t == 0) {
return s.length() % MOD;
}
long[] count = new long[SIZE];
for (char c : s.toCharArray()) {
count[c - 'a']++;
}
long[][] matrix = buildMatrix(numsArray);
long[][] matrixPower = matrixPower(matrix, t);
long[] finalCount = multiplyVectorMatrix(count, matrixPower);
long total = 0;
for (long num : finalCount) {
total = (total + num) % MOD;
}
return (int) total;
}
private long[][] buildMatrix(int[] nums) {
long[][] matrix = new long[SIZE][SIZE];
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
int k = nums[i];
int q = k / 26;
int r = k % 26;
if (r == 0) {
for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
matrix[i][j] = q % MOD;
}
} else {
int start = (i + 1) % 26;
int end = (i + r) % 26;
for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
boolean inRange;
if (start <= end) {
inRange = (j >= start && j <= end);
} else {
inRange = (j >= start || j <= end);
}
matrix[i][j] = (q + (inRange ? 1 : 0)) % MOD;
}
}
}
return matrix;
}
private long[][] matrixPower(long[][] a, int power) {
long[][] result = createIdentityMatrix();
while (power > 0) {
if ((power & 1) == 1) {
result = multiplyMatrices(result, a);
}
a = multiplyMatrices(a, a);
power >>= 1;
}
return result;
}
private long[][] createIdentityMatrix() {
long[][] matrix = new long[SIZE][SIZE];
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
matrix[i][i] = 1;
}
return matrix;
}
private long[][] multiplyMatrices(long[][] a, long[][] b) {
long[][] result = new long[SIZE][SIZE];
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
for (int k = 0; k < SIZE; k++) {
if (a[i][k] == 0) continue;
for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
result[i][j] = (result[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD;
}
}
}
return result;
}
private long[] multiplyVectorMatrix(long[] vector, long[][] matrix) {
long[] result = new long[SIZE];
for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
result[j] = (result[j] + vector[i] * matrix[i][j]) % MOD;
}
}
return result;
}
}
总结
通过这个问题，我们学习了：
如何将字符串转换问题建模为矩阵运算
使用矩阵快速幂高效处理多次转换
如何处理大数取模问题
这种方法不仅适用于这个问题，还可以推广到其他类似的线性变换问题中。掌握矩阵快速幂技术对解决算法竞赛中的许多问题都大有裨益。