MATLAB学习笔记（六）：MATLAB数学建模

MATLAB 是数学建模的强大工具，其丰富的函数库和可视化能力可以高效解决各类数学建模问题。以下是 MATLAB 数学建模的完整指南，涵盖建模流程、常用方法、代码示例及实际应用。

一、数学建模的基本流程

1. 问题分析
   • 明确目标（预测、优化、分类等）

   • 确定变量与约束条件

   • 选择数学模型类型（连续/离散、确定性/随机性）。

2. 模型构建
   • 建立数学方程（微分方程、代数方程、统计模型等）。

   • 确定参数与初始条件。

3. 模型求解
   • 解析解（符号计算）

   • 数值解（数值方法、优化算法）。

4. 模型验证
   • 与实际数据对比（误差分析）。

   • 敏感性分析（参数影响）。

5. 结果分析与应用
   • 可视化输出。

   • 提出决策建议。

二、MATLAB 数学建模核心工具箱

三、常见数学模型与 MATLAB 实现
1. 线性规划模型
问题：最小化成本 $\min c^{T}x$，满足 $Ax\le b$

% 定义目标函数和约束
c = [3; 5];          % 成本系数
A = [1 2; 4 1];      % 不等式约束矩阵
b = [8; 10];         % 约束右侧值
lb = [0; 0];         % 变量下界

% 求解线性规划
[x, fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb, []);
disp(['最优解: x = ', num2str(x'), ', 最小成本: ', num2str(fval)]);

2. 微分方程模型（人口增长）
模型：Logistic 方程 $\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})$

% 定义微分方程
function dPdt = logistic_model(t, P)
    r = 0.1; K = 1000;
    dPdt = r * P * (1 - P/K);
end

% 求解微分方程
[t, P] = ode45(@logistic_model, [0 50], 100);

% 绘图
plot(t, P); xlabel('时间'); ylabel('人口');

3. 优化模型（非线性最小二乘）
问题：拟合曲线 $y=a{e}^{bx}$ 到实验数据

% 生成模拟数据
x = 0:0.1:5;
y_true = 2*exp(-1.5*x);
y_noise = y_true + 0.5*randn(size(x));

% 定义目标函数
fun = @(params) params(1)*exp(params(2)*x) - y_noise;

% 初始猜测
params0 = [1, -1];

% 非线性最小二乘优化
params_opt = lsqnonlin(fun, params0);

% 拟合结果
a_opt = params_opt(1); b_opt = params_opt(2);
disp(['拟合参数: a = ', num2str(a_opt), ', b = ', num2str(b_opt)]);

4. 概率模型（蒙特卡洛模拟）
问题：估计积分 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$

N = 1e6;          % 模拟次数
x = rand(N, 1);   % 生成 [0,1] 均匀分布随机数
integral_estimate = mean(x.^2); % 蒙特卡洛积分
disp(['积分估计值: ', num2str(integral_estimate)]);

四、数据处理与可视化
1. 数据导入与清洗

% 读取 CSV 文件
data = readtable('experiment_data.csv');

% 处理缺失值
data(cleanmissing(data(:, :)), :);

% 数据标准化
data_normalized = zscore(data(:, 2:end));

2. 高级可视化

% 动态绘图（微分方程解）
h = animatedline;
for t = 1:length(t_values)
    addpoints(h, t_values(t), P(t));
    drawnow limitrate;
end

% 3D 曲面图（参数优化结果）
[X, Y] = meshgrid(0:0.1:5, 0:0.1:5);
Z = X.^2 + Y.^2;
surf(X, Y, Z); hold on;
plot3(a_opt, b_opt, params_opt(1)^2 + params_opt(2)^2, 'ro');

3. 交互式 App 设计
使用 App Designer 创建实时参数调整界面：

app = uifigure;
slider = uislider(app, 'Position', [20 20 200 5]);
plot_area = uiaxes(app);
xlabel(plot_area, '时间'); ylabel(plot_area, '人口');

五、实际建模技巧与注意事项

1. 模型简化
   • 忽略次要因素（如空气阻力在短距离运动中可忽略）。

   • 使用无量纲化减少变量数量。

2. 参数敏感性分析

   % 定义参数范围
   params_range = [0.1, 0.2, 0.3; 1, 2, 3];
   % 生成拉丁超立方采样
   inputs = lhsdesign(100, 2);
   % 计算输出并分析敏感度
   outputs = arrayfun(@(i) model(inputs(i,:)), 1:100);
   

3. 验证与误差分析
   • 使用交叉验证（cvpartition 函数）。

   • 计算均方误差（MSE）或平均绝对误差（MAE）。

4. 高性能计算
   • 使用 parfor 进行并行计算。

   • 利用 GPU 加速（gpuArray）。

六、经典案例参考

1. SIR 传染病模型

   % 定义 SIR 方程
   function dydt = sir_model(t, y)
       beta = 0.3; gamma = 0.1;
       S = y(1); I = y(2); R = y(3);
       dydt = [-beta*S*I, beta*S*I - gamma*I, gamma*I];
   end
   % 求解并绘图
   [t, y] = ode45(@sir_model, [0 100], [0.99, 0.01, 0]);
   plot(t, y(:,1), 'b', t, y(:,2), 'r');
   

2. 交通流模型（Lighthill-Whitham-Richards PDE）

   % 使用 PDE Toolbox 求解一维交通流方程
   model = createpde(1);
   geometryFromEdges(model, @(p) [p(1,1); p(1,2)]);
   specifyCoefficients(model, 'm', 0, 'd', 1, 'c', -u^2, 'a', 0, 'f', 0);
   

七、学习资源推荐

1. MATLAB 官方文档
   • 数学建模工具箱

2. 书籍
   • 《MATLAB 数学建模与仿真》—— 薛定宇

   • 《Introduction to Applied Linear Algebra》—— Boyd & Vandenberghe

3. 在线课程
   • Coursera: Modeling and Simulation in MATLAB

通过掌握以上方法，你可以用 MATLAB 快速构建、求解和验证数学模型，解决工程、经济、生物等领域的实际问题。核心在于：明确问题 → 选择模型 → 工具实现 → 结果分析。