[蓝桥杯]打印十字图

三、完整代码实现三、完整代码实现打印十字图

题目描述

小明为某机构设计了一个十字型的徽标（并非红十字会啊），如下所示(可参见下图)

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对方同时也需要在电脑 dos 窗口中以字符的形式输出该标志，并能任意控制层数。

为了能准确比对空白的数量，程序要求对行中的空白以句点（.）代替。

输入描述

输入一个正整数 n (n<30)n (n<30) 表示要求打印图形的层数。

输出描述

输出对应包围层数的该标志。

输入输出样例

示例

输入

1

输出

..$$$$$..
..$...$..
$$$.$.$$$
$...$...$
$.$$$$$.$
$...$...$
$$$.$.$$$
..$...$..
..$$$$$..

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 64M

总通过次数: 496  |  总提交次数: 555  |  通过率: 89.4%

难度: 困难   标签: 2013, 模拟, 省赛

C++实现打印十字图：算法详解与代码实现

一、算法思路

十字图由多层嵌套的十字结构组成，每层包含一个主十字和四个角上的小十字。核心思路是​​分层构建+对称填充​​，通过数学规律确定关键坐标点。算法步骤如下：

1. ​​初始化画布​​：创建 (4n+5) × (4n+5) 的二维数组，全部填充为 '.'。
2. ​​绘制核心十字​​：从中心点开始，按规律绘制垂直和水平方向的十字骨架。
3. ​​分层填充角十字​​：从内向外逐层绘制四个角上的小十字结构。
4. ​​对称复制​​：利用中心对称特性，将左上角图形复制到其他三个象限。
5. ​​输出结果​​：打印最终图形。

​​数学规律​​：设总边长 L = 4n + 5，中心点坐标 (c, c) = (L/2, L/2)。关键坐标通过 2*k（k为层数）的线性组合确定。

二、算法过程图示

n=1 的构建过程（9×9 矩阵）：
1. 初始化：全部为 . 
   .........
   .........
   .........
   .........
   .........
   .........
   .........
   .........
   .........

2. 绘制核心十字（红色部分）：
   ..$...$..   // 行0: (0,2) (0,6)
   ..$...$..   // 行1: (1,2) (1,6)
   $$$.$.$$$   // 行2: (2,0)(2,1)(2,2)(2,4)(2,6)(2,7)(2,8)
   ...$...     // 行3: (3,4)
   ...$...     // 行4: (4,4)
   ...$...     // 行5: (5,4)
   $$$.$.$$$   // 行6: 对称行2
   ..$...$..   // 行7: 对称行1
   ..$...$..   // 行8: 对称行0

3. 分层填充角十字（蓝色部分）：
   角坐标：(0,3)(0,4)(0,5) → 延伸横线
          (3,0)(4,0)(5,0) → 延伸竖线

4. 对称复制后得到最终图形：
   ..$$$$$..
   ..$...$..
   $$$.$.$$$
   $...$...$
   $.$$$$$.$
   $...$...$
   $$$.$.$$$
   ..$...$..
   ..$$$$$..

三、完整代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    const int L = 4 * n + 5;  // 总边长
    char canvas[130][130];    // 画布（最大支持n=30）

    // 1. 初始化画布
    for (int i = 0; i < L; ++i) {
        for (int j = 0; j < L; ++j) {
            canvas[i][j] = '.';
        }
    }

    // 2. 绘制核心十字骨架
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {       // 十字的3个基本偏移
        for (int j = 0; j <= n; ++j) {  // 从中心向外扩展n层
            int offset = j * 2;
            canvas[i + offset][2 + offset] = '$';  // 垂直方向
            canvas[2 + offset][i + offset] = '$';  // 水平方向
        }
    }

    // 3. 分层绘制角十字
    for (int j = 0; j < n; ++j) {             // j: 当前层数(0~n-1)
        int len = 2 * n - 2 * j;              // 当前层延伸长度
        for (int i = 0; i < len; ++i) {       // i: 延伸步长
            int start = 2 * j;                // 角十字中心X/Y坐标
            canvas[start][i + start + 3] = '$';  // 右上横线
            canvas[i + start + 3][start] = '$';  // 左下竖线
        }
    }

    // 4. 对称复制（左上→右上→下半）
    for (int i = 0; i <= L / 2; ++i) {       // 处理上半部分（含中线）
        for (int j = 0; j < L; ++j) {
            canvas[i][L - 1 - j] = canvas[i][j];  // 左右对称
            canvas[L - 1 - i][L - 1 - j] = canvas[i][j];  // 上下对称
        }
    }

    // 5. 输出结果
    for (int i = 0; i < L; ++i) {
        for (int j = 0; j < L; ++j) {
            cout << canvas[i][j];
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

四、代码解析

1. ​​画布初始化​​（L13-L17）

   • 创建 L×L 字符数组，L = 4n+5 是十字图边长公式
   • 初始填充 '.' 表示空白。

2. ​​核心十字绘制​​（L20-L25）

   • 内层循环 j 控制层数（0~n），offset = 2j 实现层间偏移。
   • 外层循环 i 控制十字臂长（0~2覆盖十字的3个点）。

3. ​​角十字分层填充​​（L28-L33）

   • j 表示当前层（0最内层，n-1最外层）。
   • len = 2n-2j 实现外层延伸更长，内层更短
   • start = 2j 定位角十字中心。

4. ​​对称复制优化​​（L36-L40）

   • 仅计算左上1/4图形，通过对称得到完整图形。
   • 时间复杂度从O(L²)降至O(L²/4)，效率提升4倍。

5. ​​边界处理​​

   • 数组大小130×130满足n<30的需求（最大L=125）。
   • 对称循环 i <= L/2 确保中心行被正确处理。

五、实例验证

​​输入 n=1 时输出：​​

..$$$$$..
..$...$..
$$$.$.$$$
$...$...$
$.$$$$$.$
$...$...$
$$$.$.$$$
..$...$..
..$$$$$..

​​输入 n=2 时输出：​​

..$$$$$$$$$..
..$.......$..
$$$.$$$$$.$$$
$...$...$...$
$.$$$.$.$$$.$
$.$...$...$.$
$.$.$$$$$.$.$
$.$...$...$.$
$.$$$.$.$$$.$
$...$...$...$
$$$.$$$$$.$$$
..$.......$..
..$$$$$$$$$..

六、注意事项

1. ​​数组越界​​

   • 计算 L=4n+5 后，数组尺寸需 ≥130（n最大29时L=121）。

2. ​​对称覆盖问题​​

   • 对称复制前确保左上1/4图形完全正确。
   • 复制循环需包含中心行：i <= L/2。

3. ​​特殊层数处理​​

   • n=0 时程序异常（题目要求n≥1）。
   • n≥30 时数组越界（题目限制n<30）。

4. ​​输出格式​​

   • 行末无空格，每行输出后换行。
   • 用 cout 而非 printf 避免格式错误。

七、优化建议

1. ​​内存优化​​

   vector<vector<char>> canvas(L, vector<char>(L, '.')); // 动态分配

2. ​​效率提升​​

   • 合并绘制循环：将核心十字与角十字的绘制整合到同一循环。
   • 减少对称操作：直接计算四个象限坐标。

3. ​​扩展功能​​

   // 支持彩色输出（Linux终端）
   void printColor(char c) {
       if (c == '$') cout << "\033[1;31m$\033[0m";  // 红色$
       else cout << "\033[34m.\033[0m";             // 蓝色.
   }

八、测试用例设计

可通过以下命令进行随机测试：
for n in {1..29}; do ./program < $n.txt; done

九、总结

通过分层构建和对称复制，算法高效实现了十字图的打印。关键点在于：

1. 数学建模坐标：(2k, 2k) 定位角十字中心
2. 动态计算延伸长度：len = 2n-2j
3. 对称优化减少计算量