电路笔记(信号)：一阶低通RC滤波器 & 一阶线性微分方程推导 & 拉普拉斯域表达（传递函数、频率响应）分析

RC 低通滤波器电路

最常见的一阶低通滤波器是 RC 电路，如下所示：

Vin ────[ R ]────┬──── Vout
                 │
                === C
                 │
                GND

一阶线性微分方程推导

• 根据电路的基尔霍夫定律（KCL）和电容的电压-电流关系：

  • 电容电流：$i_C=C\cdot \frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}$
  • 电阻电流：$i_R=\frac{V_{\text{in}}-V_{\text{out}}}{R}$

• 因为串联，$i_C=i_R$，所以：

$$C\cdot \frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}=\frac{V_{\text{in}}-V_{\text{out}}}{R}$$

• 整理为标准一阶微分方程y’+p(x)y=q(x)形式：

$$\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}+\frac{1}{RC}{V}_{\text{out}}=\frac{1}{RC}{V}_{\text{in}}$$

• 记 $\tau =RC$，即：

$$\tau \cdot \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

• 其中：

  • $y(t)=V_{\text{out}}$：滤波器输出；
  • $x(t)=V_{\text{in}}$：滤波器输入；
  • $\tau =RC$：时间常数，单位为秒，𝜏表示系统响应变化的快慢程度。
    • 注：对于一阶系统（例如 RC 电路、热传导、液位控制、机械阻尼、速度响应等），系统对一个阶跃输入信号（如电压从 0 变为 1V）的响应，在经过时间 𝜏 后，输出达到最终稳态值的约 63.2%。表示系统输出 $y(t)$ 跟随输入 $x(t)$，但有惯性，不能瞬间响应。 $\tau$ 越小 → 响应快，$\tau$ 越大 → 响应慢，更平滑。

拉普拉斯域表达（传递函数）

$$\tau \cdot \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

• 对其两边做拉普拉斯变换，假设 初始值为零（零初始条件），即 $y(0)=0$，得到：

τ ⋅ L { d y ( t ) d t } + L { y ( t ) } = L { x ( t ) } \tau \cdot \mathcal{L} \left\{ \frac{dy(t)}{dt} \right\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{x(t)\} τ⋅L{dtdy(t)​}+L{y(t)}=L{x(t)}

• 利用 一阶导数的拉普拉斯变换 公式：

$$\tau (sY(s)-y(0))+Y(s)=X(s)$$

• 假设 $y(0)=0$ ：

$$\tau sY(s)+Y(s)=X(s)$$

• 提取 $Y(s)$：

$$Y(s)(\tau s+1)=X(s)$$

传递函数 $H(s)$

$$\boxed{H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{\tau s+1}}$$

• 或者换成 RC 表达：

$$\boxed{H(s)=\frac{1}{RCs+1}}$$

频率响应（令 $s=j\omega$）

• 代入 $s=j\omega$ 就描述了系统对频率为 $\omega$ 的正弦输入的稳态响应

$$H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega \tau }$$

幅频特性：

$$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}}$$

相位特性：

$$\arg H(j\omega )=-{\tan }^{-1}(\omega \tau )$$

Bode 图（线性系统频率响应）

• 注：在电路笔记(信号)：数字滤波电路的拉普拉斯变换与零极点分析(增益=零点距/极点距，相位=零点角-极点角)的用零极点图分析电路中提供了一个RC高通的Bode图估计示例。

• 注：绘制代码如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
tau = 0.05  # 时间常数 (s)
w = np.logspace(0, 4, 500)  # 频率向量 (rad/s)
mag = 20 * np.log10(1 / np.sqrt(1 + (w * tau)**2))  # 幅度响应
phase = -np.degrees(np.arctan(w * tau))            # 相位响应

# 截止频率
wc = 1 / tau
fc = wc / (2 * np.pi)

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 幅度图
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.axvline(wc, color='red', linestyle='--', label=f'Cutoff @ {fc:.1f} Hz')
plt.title('Bode Plot of 1st-Order Low-Pass Filter')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.grid(True, which='both')
plt.legend()

# 相位图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.axvline(wc, color='red', linestyle='--')
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (degrees)')
plt.grid(True, which='both')

plt.tight_layout()
plt.show()