深度学习——第2章习题2-1分析为什么平方损失函数不适用于分类问题

深度学习——第2章习题2-1

《神经网络与深度学习》——邱锡鹏

2-1 分析为什么平方损失函数不适用于分类问题。

平方损失函数（Quadratic Loss Function）经常用在预测标签y为实数值的任务中，定义为
$$\mathcal{L}\left(y,f(x;\theta )\right)=\frac{1}{2}{\left(y-f(x;\theta )\right)}^2$$
平方损失函数一般不适用于分类问题。

为什么呢？

在issue里有人这样回答：

先来弄清楚回归问题和分类问题的区别：

回归问题：简单来说，就是预测一个连续的数值。比如，预测明天的气温、房价、股票价格等等。这里的关键在于，预测的结果是一个具体的数字，范围可以非常广泛。

分类问题：指的是将数据分到离散的类别中。比如，判断一封邮件是“垃圾邮件”还是“正常邮件”；识别一张图片是“猫”还是“狗”；或者诊断一个病人是“健康”还是“生病”。这里的关键在于，结果是有限的几个类别之一。

分类问题的核心目标是估计样本属于每个类别的概率，并最大化正确类别的概率（或对数似然）。
而平方损失函数的目标是最小化预测值（连续数值）与目标值（0或1）之间的数值差异。它没有直接建模概率或最大化似然的机制。
交叉熵损失函数直接来源于最大似然估计原理。它衡量的是预测概率分布于真实分布（one-hot）之间的差异，完美契合分类问题的概率建模目标。

（额。。。可能看不太懂，下面通俗一点讲）

分类问题要的是“选对”，而平方损失关心的是“猜得差不多”。
也就是说分类问题就像考试在做选择题(A/B/C/D)，目标是选对正确答案。平方损失函数像是一个奇怪的考官：他不在乎你选哪个选项，他让你给每个选项打分（比如A打90分，B打5分，C打3分，D打2分）。然后他只看正确答案的分数离100分差多少，差的平方就是扣分。学生把正确答案从60分提高到70分，考官觉得“有进步，但不用非得追求90分”。交叉熵损失函数才是一个正常的分类考官：他要求你直接选一个答案（或者说每个答案的概率）。他只看你分配给正确答案的概率是多少。如果你很确定正确答案（概率接近100%），扣分极少；如果你不太确定（比如60%），扣分较多；如果你完全选错（概率接近0%），扣分极其严厉。这逼着学生：

1. 在确定时大胆选正确答案（输出接近1）。
2. 在不确定时，也会倾向于提高正确答案的概率（即使从60%到70%，考官给的“奖励”/减少的扣分也很大）。
3. 绝不会为了“安全”而把答案说得模棱两可。

还有梯度问题，在优化过程中，模型需要根据损失函数的梯度来调整参数。对于分类问题，特别是多分类问题，平方损失函数在预测值接近实际值时梯度会变得非常小，这意味着模型的调整速度会变得很慢，收敛时间会更长。另外，在分类问题中，我们希望模型能给出一个概率值，表示某个样本属于某个类别的可能性。**平方损失函数只是简单地计算预测值和实际值之间的差距，没有考虑到概率的含义。**对数损失函数则能更好地解释模型的预测概率，帮助我们更准确地评估模型的性能。

平方损失函数一般用于解决什么问题呢？

平方损失函数的核心思想是：预测值离真实值越远，惩罚越重（按距离的平方增长）。很适合解决回归问题。

有很多关于MSE与CE的面试题(从xhs上找了两题)：

1.MSE Loss 与 CE Loss 的误差分别满足什么分布？

MSE即均方误差，常用于回归任务（如预测连续值），其误差满足正态分布（高斯分布）。
原理：假设预测值与真实值的误差以真实值为中心，呈对称“钟形”分布（多数误差集中在0附近，离0越远概率越低）。
数学逻辑：当误差服从正态分布时，通过最大似然估计推导出的损失函数即为MSE，因此MSE本质是高斯分布假设下的最优选择。

CE即交叉熵，常用于分类任务（如二分类、多分类），其误差对应伯努利分布（二分类）或多项式分布（多分类）。
原理：衡量预测概率分布与真实标签分布的差异。以二分类为例，真实标签0/1服从伯努利分布（类似抛硬币的概率模型），CE损失通过最大化“预测概率符合真实分布”的似然性来优化。
数学逻辑：若样本服从伯努利/多项式分布，CE损失等价于最大化似然函数，误差本质是预测概率偏离真实分布的程度。

伯努利分布是什么？
伯努利分布(bernouli distribution)，又叫做0-1分布，是一种离散型概率分布，指一次随机试验，结果只有两种。也就是一个随机变量的取值只有0和1.最简单的例子就是跑一次硬币，预测结果为正还是反。记成功概率为$p(0\le p\le 1)，则失败概率为$$q=1-p$，则：
其概率质量函数为：
$P(x)=p^x(1-p{)}^{1-x}=\{\begin{array}{ll}p& ifx=1\\ q& ifx=0\end{array}$
其期望值为：
$E(x)=\sum xP(x)=0\times q+1\times p=p$
其方差为：
$Var(x)=E[(x-E(x){)}^2]=\sum (x-p{)}^{2}P(x)-pq$

2.为什么分类都用CE损失？回归用MSE损失？

先讲分类任务选择CE损失的核心原因。

• 与分类问题的概率本质匹配
  分类任务的目标是预测样本属于某一类的概率（如图片是“猫”的概率为90%），而CE损失直接衡量预测概率分布与真实标签分布的差异（真实标签是one-hot向量，属于确定概率分布）。
  例如：二分类中真实标签为1，若模型预测概率为0.1，CE损失会通过对数运算放大这种偏差，促使模型提高正确类别的概率；而MSE损失此时仅计算“0.1与1的差值平方”，对概率的惩罚不够直接。
• 避免MSE在分类中的梯度缺陷
  若分类模型使用 sigmoid/softmax 激活函数，MSE损失会导致梯度消失问题：当预测概率接近0或1时，梯度趋近于0，模型难以优化。而CE损失与 sigmoid/softmax 组合时，梯度公式更简洁（如二分类中梯度为预测概率与真实标签的差值），训练更稳定。
• 符合分类误差的概率分布假设
  分类问题的误差本质是“预测概率偏离真实分布”对应伯努利/多项式分布（如二分类类似抛硬币的概率模型）。CE损失基于最大似然估计，假设样本服从这些分布，因此更贴合分类任务的概率逻辑。

再看看回归问题选择MSE损失的核心原因。

• 与回归问题的连续值特性匹配
  回归任务需要预测连续值（如房价、温度），目标是让预测值尽可能接近真实值，而MSE直接度量预测值与真实值的距离平方，误差越大惩罚越重，符合“最小化绝对偏差”的直观需求。

  例如：真实值为10，预测值为8和5，MSE对5的惩罚(25)远大于对8的惩罚(4)，能更强烈地推动模型修正大误差。

• 符合回归误差的正态分布假设
  回归问题中，误差（真实值-预测值）通常被假设为正态分布（如测量误差、自然现象的波动符合高斯分布）。MSE损失等价于在正态分布假设下的最大似然估计，即当误差服从高斯分布时，最小化MSE等价于最大化数据出现的概率，理论上最优。

• 更易优化
  MSE损失函数是凸函数，梯度为“预测值-真实值”，计算简单且优化过程平滑，不易陷入局部最小值（相比某些非凸损失函数），适合回归任务的数值优化。