PILCO论文原理在倒立摆实现中的计算过程详解

PILCO论文原理在倒立摆实现中的计算过程详解

结合PILCO论文的原理，我将详细阐述inverted_pendulum.py中的计算过程，解析PILCO算法如何应用于解决倒立摆问题。

1. 初始化与数据收集阶段

env = gym.make('InvertedPendulum-v2')
# 初始随机rollout生成数据集
X,Y, _, _ = rollout(env=env, pilco=None, random=True, timesteps=40, render=True)
for i in range(1,5):
    X_, Y_, _, _ = rollout(env=env, pilco=None, random=True, timesteps=40, render=True)
    X = np.vstack((X, X_))
    Y = np.vstack((Y, Y_))

这部分代码实现了PILCO算法的第一步：收集初始数据。具体过程为：

1. 创建OpenAI Gym中的倒立摆环境
2. 使用随机策略进行5次rollout（每次40步），收集状态转移数据
3. 将数据组织为输入X和输出Y：
   • X包含状态和动作的组合 $(x_t,u_t)$
   • Y包含状态差分 ${\Delta }_t=x_{t+1}-x_t$

这与PILCO论文中的初始数据收集阶段一致，目的是提供足够的初始数据来学习系统动态模型。

2. 模型与控制器初始化

state_dim = Y.shape[1]
control_dim = X.shape[1] - state_dim
controller = RbfController(state_dim=state_dim, control_dim=control_dim, num_basis_functions=10)
# controller = LinearController(state_dim=state_dim, control_dim=control_dim)

pilco = PILCO((X, Y), controller=controller, horizon=40)

这部分代码实现了PILCO的初始化：

1. 确定状态维度和控制维度
2. 初始化RBF控制器，使用10个基函数（也可使用线性控制器）
3. 初始化PILCO模型，指定：
   • 训练数据 (X, Y)
   • 控制器类型
   • 预测时域长度（40步）

在PILCO论文中，控制器通常采用非线性形式（如RBF网络），以提供足够的表达能力。RBF控制器按照论文中5.3.2节描述实现：将控制器表示为确定性高斯过程。此处选择10个基函数，这是控制器复杂度的超参数。

3. 迭代优化过程

for rollouts in range(3):
    pilco.optimize_models()
    pilco.optimize_policy()
    X_new, Y_new, _, _ = rollout(env=env, pilco=pilco, timesteps=100, render=True)
    # 更新数据集
    X = np.vstack((X, X_new)); Y = np.vstack((Y, Y_new))
    pilco.mgpr.set_data((X, Y))

这部分代码实现了PILCO算法的核心迭代过程，完全遵循论文中的算法流程：

3.1 模型优化（optimize_models）

pilco.optimize_models()对应论文中的"学习动态模型"步骤。在此步骤中：

1. 使用现有数据优化多输出高斯过程回归(MGPR)模型的超参数
2. 对每个状态维度训练一个独立的GP模型
3. 优化内核参数（长度尺度、信号方差、噪声方差）

这一步的数学原理是最大化边际似然：
$$\log p(y|x)=-\frac{1}{2}{y}^T(K+{\sigma }_n^{2}I{)}^{-1}y-\frac{1}{2}\log |K+{\sigma }_n^{2}I|-\frac{n}{2}\log (2\pi )$$

3.2 策略优化（optimize_policy）

pilco.optimize_policy()对应论文中的"基于模型的策略搜索"步骤。在此步骤中：

1. 固定动态模型参数，只优化控制器参数
2. 使用解析梯度方法优化期望回报
3. 通过长期轨迹预测评估控制器性能

这一步实现了论文中的核心创新：通过解析梯度优化策略。它计算期望回报关于策略参数的梯度：
$$\frac{\partial J_{\pi }(\theta )}{\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial \theta }\sum _{t=0}^{T-1}\int \int r(x_t)p(x_t)d{x}_t$$

3.3 策略执行与数据收集

X_new, Y_new, _, _ = rollout(env=env, pilco=pilco, timesteps=100, render=True)
X = np.vstack((X, X_new)); Y = np.vstack((Y, Y_new))
pilco.mgpr.set_data((X, Y))

这部分对应论文中的"应用控制器"和"收集新数据"步骤：

1. 使用优化后的控制器在实际环境中执行100步
2. 收集新的状态转移数据
3. 将新数据添加到训练集
4. 更新PILCO模型的数据集

这一过程体现了PILCO的迭代学习特性，通过不断收集新数据来改进模型和策略。

4. 算法内部计算过程

虽然inverted_pendulum.py没有显式展示算法内部计算，但基于PILCO实现，实际发生了以下计算：

4.1 动态模型预测

当PILCO预测未来状态时，它执行以下计算：

1. 获取当前状态分布 $p(x_t)=\mathcal{N}(m_t,S_t)$
2. 计算控制输入分布 $p(u_t|x_t)$
3. 联合分布 $p(x_t,u_t)$ 通过矩匹配近似为高斯分布
4. 使用GP模型预测下一状态差分分布 $p({\Delta }_t|x_t,u_t)$
5. 计算下一状态分布 $p(x_{t+1})=p(x_t+{\Delta }_t)$

4.2 长期轨迹预测

在策略优化过程中，PILCO从初始状态分布开始，迭代应用上述计算过程，预测整个时域内的状态分布序列。

4.3 奖励计算

对于倒立摆问题，默认的奖励函数是一个指数奖励函数：
$$r(x)=\exp \left(-\frac{1}{2}(x-x_{target}{)}^{T}W(x-x_{target})\right)$$

其中$x_{target}$是目标状态（倒立摆保持直立），$W$是权重矩阵。

4.4 策略改进

策略优化过程通过梯度上升法最大化期望累积奖励：
$$J(\theta )=\sum _{t=0}^{T-1}{\mathbb{E}}_{x_t}[r(x_t)]$$

5. 倒立摆任务的特点与PILCO适用性

倒立摆是一个经典的控制问题，具有以下特点：

1. 连续状态空间：倒立摆的状态包括位置、角度及其导数
2. 连续动作空间：控制输入是连续的力或力矩
3. 非线性动态：倒立摆的动态方程是非线性的
4. 不稳定平衡点：直立位置是不稳定平衡点

PILCO特别适合解决倒立摆问题，因为：

1. PILCO可以高效处理连续状态和动作空间
2. 高斯过程模型可以捕捉系统的非线性动态
3. PILCO的不确定性处理机制可以应对模型误差
4. 基于模型的预测允许长期规划，克服不稳定平衡点的挑战

6. 实验效果分析

通过代码中设置的3次迭代，PILCO通常能够学习到有效的倒立摆控制策略。每次迭代后，我们可以观察到：

1. 系统动态模型变得更加准确
2. 控制策略的性能逐步提高
3. 倒立摆保持直立的时间延长

PILCO的高数据效率在倒立摆任务中表现突出，通常只需少量迭代（3-5次）就能学习到有效策略，而传统强化学习方法可能需要数千次迭代。

总结

inverted_pendulum.py完整实现了PILCO论文中的算法流程，应用于倒立摆控制任务：

1. 收集初始随机数据
2. 学习高斯过程动态模型
3. 基于模型优化控制策略
4. 应用策略并收集新数据
5. 迭代更新模型和策略

整个过程充分体现了PILCO的核心特点：数据高效性、不确定性建模、长期预测和基于梯度的策略优化。这种方法使PILCO能够在极少的实际交互中学习到有效的控制策略，特别适合倒立摆这类非线性控制任务。