【数论 拆位法】P10308 「Cfz Round 2」Osmanthus|普及+

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
位运算、状态压缩、枚举子集汇总

P10308 「Cfz Round 2」Osmanthus

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$。

我们定义一次操作为，同时将序列 $a$ 中的每个元素 $a_i$ 替换为 $\underset{j=1}{\overset{i}{⨁}}{a}_j$（即 $a_1$ 至 $a_i$ 的异或和），其中 $⨁$ 表示按位异或，即 C++ 中的 ^。

现有 $q$ 次有序的修改，每次修改会给定两个整数 $x_i,p_i$，表示将 $a_{x_i}$ 的值修改为 $p_i$。修改之间并不独立，每次修改会对后续的修改产生影响。

你需要在每次修改后，找到最小的正整数 $t$，满足进行 $t$ 次操作后的序列 $a$ 与操作前的序列 $a$ 相同。可以证明一定存在满足要求的正整数 $t$。

由于答案可能很大，所以你只需要输出答案对 $(10^9+7)$ 取模的结果。

输入格式

第一行输入两个整数 $n,q$。

第二行输入 $n$ 个整数，表示给定的序列 $a$。

接下来 $q$ 行，每行输入两个整数 $x_i,p_i$，表示一次修改。

输出格式

共 $q$ 行，每行输出一个整数，其中第 $i$ 行的整数表示第 $i$ 次修改后，最小的满足要求的正整数 $t$ 对 $(10^9+7)$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3
3 1 0
2 2
1 0
2 0

输出 #1

4
2
1

说明/提示

「样例解释 #1」

第 $1$ 次修改后的序列 $a$ 为 { 3 , 2 , 0 } \{3,2,0\} {3,2,0}，此时进行 $1$ 次操作后的序列 $a$ 为 { 3 , 1 , 1 } \{3,1,1\} {3,1,1}，进行 $2$ 次操作后的序列 $a$ 为 { 3 , 2 , 3 } \{3,2,3\} {3,2,3}，进行 $3$ 次操作后的序列 $a$ 为 { 3 , 1 , 2 } \{3,1,2\} {3,1,2}，进行 $4$ 次操作后的序列 $a$ 为 { 3 , 2 , 0 } \{3,2,0\} {3,2,0}，所以最小的满足要求的正整数 $t$ 为 $4$。

「数据范围」

对于所有数据，$1\le n,q\le 3\times 10^5$，$0\le a_i,p_i\le 10^9$，$1\le x_i\le n$。

只有你通过本题的所有测试点，你才能获得本题的分数。

拆位法

各位分别讨论。
长度为1的序列，永远不变。
长度为2的序列a，如果全部是0，永远不变。如果a[0]是0,永远不变。
否则{$10,11,10,11\cdots$} 或{$11,10,11,10\cdots$}循环。循环长度为2。
下表：x-y表示本单元格有x个a0，本行到当前单元个有y个a0。两个a0异或会抵消，故x和y大于2减去2，最后取值范围{0,1}。

性质一：某行第一列，x是1，其它列x是0。可能和原始序列相等，否则一定不等，因为$a_0\ne 0$。
长度1，可能周期1。且周期一定是1的而倍数。
长度2，可能周期2。且周期一定是2的而倍数。
长度3，4，可能周期4,且周期一定是4的而倍数。
长度5，可能周期8,且周期一定是8的而倍数。
猜想一：令删除前缀0后，长度len ,各数字的周期是$f(len)=2^{\lceil lo{g}_{2}len\rceil }$
由于$n\le 3\times 10^5$,我们直接用程序演算一下，就可以证明猜想。时间复杂度：O(nlogn)
注意:验证程序无需提交，所以可以超过1秒。

下面讨论a1

性质三： $a_i$周期符合f(len-i)。 删除前i列后，表格相同。
性质四：满足f(len)，则一定满足f(len-1)。只有两种情况$f(len)==f(len-1)，f(len)=2\times f(len-1)$ 都符合。
性质五：各位的len不同，根据性质四，取最大值。同一个二进制位，len也取最大，即$a_0$。

猜想证明：拆分成4个行列相等的表格

请忽略各单元格的y，y方便验算x是否正确。
当$i>0$时，拆分成4个$行列都是2^{i-1}的表格$。数学归纳法来证明。

当$1==i$时，下列性质成立。

性质一：3红色表格一样。
性质二：绿色表格(右下角)全部是0。
性质三：除最后一行外，每行1的数量时偶数。
下面来证明当$行列2^{i-1}的表格成立，则行列2^i的表格也成立$。

性质一：左上和左下相同时因为周期是$2^{i-1}$。左上和右上相等，第一行全部是1，其它行是性质三。
性质二：第一行全部为0,因为左上右上最后一行除第0列为1外，全为0。
其它行因为性质二。
性质三：左上右上相同，故1的数量是偶数。
右下全部是0，故下边1的数量就是左下1的数量。

实现

有序集合s记录所有$a[i]\ne 0$的i。
如果如果s为空，答案的是f(N)，否则f(N-*s.begin())。
注意：全部为0，也要操作一次，不能操作0次。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class Solution {
public:
	vector<int> Ans(vector<int>& as, vector<pair<int, int>> xp) {
		const int N = as.size();
		multiset<int> s;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			if (as[i]) { s.emplace(i); }
		}
		auto f = [&](int len) {
			if (0 == len) { return 1; }
			int iMax = 0, cnt = 0;
			for (int i = 0; i < 31; i++) {
				if ((1 << i) & len) {
					iMax = i;
					cnt++;
				}
			}
			return 1 << (iMax + (cnt > 1));
		};
		vector<int> ans;
		for (auto [x, p] : xp) {
			x--;
			s.erase(x);
			if (p) { s.emplace(x); }
			const int len = s.empty() ? 0 : (N - *s.begin());
			ans.emplace_back(f(len));
		}
		return ans;
	};
};


int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int N, Q;
	cin >> N >> Q;
	auto as = Read<int>(N);
	auto xp = Read<pair<int, int>>(Q);

#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d,M=%d", N,M);
		//Out(v, ",v=");
		//Out(B, ",B=");
		//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG		
		Solution slu;
		auto res = Solution().Ans(as,xp);
		for (const auto& i : res) {
			cout << i << "\n";
		}
	return 0;
}

单元测试

vector<int> as;
		vector<pair<int, int>> xp;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			as = { 3,1,0 };
			xp = { {2,2},{1,0},{2,0} };
			auto res = Solution().Ans(as,xp);
			AssertEx({ 4,2,1 }, res);
		}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。