【统计学常用指标-1】

📊 统计学常用指标笔记

记录几个常用的统计学和评估指标，方便查阅。

✨ z-score（标准分数）

定义

z-score 衡量一个值与总体均值的距离，用标准差表示：

$$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

• $x$：观测值
• $\mu$：总体均值
• $\sigma$：标准差

作用

• 衡量数据点相对平均水平的偏离程度
• 检测异常值（z 很大或很小的值可能是异常）
• 标准化特征

示例

某考试平均分 $\mu =70$，标准差 $\sigma =10$，你考了 $x=85$：

$$z=\frac{85-70}{10}=1.5$$

说明高于平均水平 1.5 个标准差。

✨ GM（几何平均值，Geometric Mean）

定义

n 个正数的几何平均值是它们乘积的 n 次方根：

$$\text{GM}=(\prod _{i=1}^n{x}_i{)}^{\frac{1}{n}}$$

作用

• 适合用于比率、增长率、乘法关系的数据
• 比算术平均值更不容易被极端值影响

示例

某股票 3 年回报率分别是 +10%、+20%、-15%：

$$\text{GM}=\sqrt[3]{1.10\times 1.20\times 0.85}\approx 1.0375$$

平均每年增长约 3.75%。

✨ Cohen’s kappa 系数

定义

衡量两名评估者对同一对象的分类一致性，同时考虑随机一致的可能性：

$$\kappa =\frac{p_o-p_e}{1-p_e}$$

• $p_o$：观察到的一致性（实际一致的比例）
• $p_e$：随机一致的期望比例

取值范围

示例

两位医生诊断 100 个病例：

• $p_o=(40+30)/100=0.70$
• $p_e=[(50\times 60)+(50\times 40)]/100^2=0.50$
• 所以：

$$\kappa =\frac{0.70-0.50}{1-0.50}=0.40$$

一致性水平为“一般一致”。

在 Cohen’s kappa 中，例子里期望一致性 $p_e$ 的计算其实是按照两个医生的“边际概率”相乘的结果。下面我来把这个逻辑拆开讲清楚。

📋 数据

我们有一个 2×2 表：

📖 公式

期望一致性 $p_e$ 的意思是：

如果两个医生的判断完全是随机的，但概率分布还是和各自的总体判断比例一致，那么他们随机一致的概率是多少？

计算公式：

$$p_e=P(\text{都说是})+P(\text{都说否})$$

其中：

• $P(\text{都说是})=P_A(\text{是})\times P_B(\text{是})$
• $P(\text{都说否})=P_A(\text{否})\times P_B(\text{否})$

🚀 代入数据

两位医生各自的边际比例：

• 医生A说“是”的概率：$P_A(\text{是})=50/100=0.5$

• 医生A说“否”的概率：$P_A(\text{否})=50/100=0.5$

• 医生B说“是”的概率：$P_B(\text{是})=60/100=0.6$

• 医生B说“否”的概率：$P_B(\text{否})=40/100=0.4$

所以：

$$p_e=(0.5\times 0.6)+(0.5\times 0.4)=0.3+0.2=0.5$$

📌 总结

这个 0.5 就是如果他们完全随机但按照各自的判断概率选出来时，预期的一致性概率。

然后再用公式：

$$\kappa =\frac{p_o-p_e}{1-p_e}$$

其中 $p_o=(40+30)/100=0.7$ （实际一致性）

代入就能算出 $\kappa =\frac{0.7-0.5}{1-0.5}=0.4$

📚 总结

📌 小提示

✅ z-score 更适合数值型数据
✅ GM 更适合乘法关系、增长率
✅ kappa 更适合两个分类者对分类任务的一致性评价