Pauli 矩阵指数函数展开为显式矩阵 e^A -＞ B

发布于：2025-08-07 ⋅ 阅读:(34) ⋅ 点赞:(0)

        要展开表达式  e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} 为普通矩阵，其中  \vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)  是 Pauli 矩阵，\hat{n} 是单位向量，\theta 是实数。以下是详细推导步骤：

1. Pauli 矩阵的性质

    Pauli 矩阵定义为：

             \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

它们满足以下关系：

            \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k ​

其中 \delta_{ij} 是 Kronecker delta，\epsilon_{ijk}​ 是 Levi-Civita 符号【细节见文末附录】，I 是单位矩阵。可以左右分别计算，做一个验证。

2. 单位向量和 Pauli 矩阵的点积

    设单位向量 

               \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) 

满足

             n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1

定义：

            \hat{n} \cdot \vec{\sigma} = n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z = \begin{pmatrix} n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & -n_z \end{pmatrix}

    记 A = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}，则 A 的性质如下：

        A 是 Hermitian 矩阵：

                 A^\dagger = A

                 A^2 = I，因为：

                A^2 \\= (n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z)^2 \\= n_x^2 I + n_y^2 I + n_z^2 I + \text{crossItems} \\= (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)I \\= I

    交叉项由于 Pauli 矩阵的反交换关系而抵消。或者直接计算展开也可以验证此结论。

3. 指数展开

    利用 A^2 = I，可以将 e^{i \theta A} 展开为 Taylor 级数：

                \ \ \ e^{i \theta A} \\\\= \sum_{k=0}^\infty \frac{(i \theta A)^k}{k!} \\ \\= \sum_{\text{even } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} I + \sum_{\text{odd } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} A

因为 A^k = I 当 k 为偶数，A^k = A 当 k 为奇数。因此：

                e^{i \theta A} = \left(\sum_{\text{even } k} \frac{(i \theta)^k}{k!}\right) I + \left(\sum_{\text{odd } k} \frac{(i \theta)^k}{k!}\right)A

注意到：

               \sum_{\text{even } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} = \sum_{\text{even } k} \frac{( \theta)^k}{k!} =\cos(\theta)

              \sum_{\text{odd } k} \frac{(i \theta)^k}{k!} = i\sum_{\text{odd } k} \frac{( \theta)^k}{k!} =i \sin(\theta)

因此：

              e^{i \theta A} = \cos(\theta) I + i \sin(\theta)A

    这是个很有用的结论，当 A^2 = I 时，e^{i\theta A} 可以展开成两个矩阵之和。 

    上节中 A = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} 就具备这个性质，所以 可以这样展开 e^{i\theta A} 为两项之和；后面马上会用到。 

注：sin cos 的泰勒级数

            \sin \theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots

            \cos \theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \theta^{2n} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots

    这两个级数对所有实数 \theta（甚至复数）都收敛，因此可以用于计算 \sin \theta 和 \cos \theta 的近似值；

    注意到级数展开式中的正负号，与 i  的幂正好抵消为正。 

sin cos与指数函数的关系（欧拉公式）

    利用泰勒级数，可以推导欧拉公式：

            e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
    证明：

         指数函数的泰勒展开：

                e^{i \theta} = 1 + i \theta + \frac{(i \theta)^2}{2!} + \frac{(i \theta)^3}{3!} + \cdots
    分离实部和虚部：

                e^{i \theta} = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right) + i \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right)
    即：

                  e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
 

4. 显式矩阵形式

    将 A = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} 代入：

                e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \cos(\theta) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + i \sin(\theta) \begin{pmatrix} n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & -n_z \end{pmatrix}

    展开后得到：

                e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) + i n_z \sin(\theta) & i (n_x - i n_y) \sin(\theta) \\ i (n_x + i n_y) \sin(\theta) & \cos(\theta) - i n_z \sin(\theta) \end{pmatrix}

5. 最终结果

    因此，e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} 的显式矩阵形式为：

                e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) + i n_z \sin(\theta) & (i n_x + n_y) \sin(\theta) \\ (i n_x - n_y) \sin(\theta) & \cos(\theta) - i n_z \sin(\theta) \end{pmatrix}

6. 验证

    可以验证当 \hat{n} = (0, 0, 1)（ 即 n_x = n_y = 0, n_z = 1 ）时：

                  e^{i \theta \sigma_z} = \begin{pmatrix} e^{i \theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \theta} \end{pmatrix}

这与直接计算 e^{i \theta \sigma_z} 的结果一致。

7. 小结

    通过利用 Pauli 矩阵的性质和指数函数的 Taylor 展开，我们得到了 e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} 的显式矩阵形式：

                  e^{i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}} = \cos(\theta) I + i \sin(\theta) (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})

其矩阵表示为：

                  \begin{pmatrix} \cos(\theta) + i n_z \sin(\theta) & (i n_x + n_y) \sin(\theta) \\ (i n_x - n_y) \sin(\theta) & \cos(\theta) - i n_z \sin(\theta) \end{pmatrix}


8. 附录 ：Levi-Civita 符号（\epsilon_{ijk}​）的定义与性质

        Levi-Civita 符号（也称为完全反对称张量或排列符号）是一个在三维空间中广泛使用的数学工具，尤其在向量运算、行列式计算和量子力学（如 Pauli 矩阵）中非常有用。它的定义如下：

 \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if \ } (i,j,k) \text{\ is \ } (1,2,3) \text{ even \ order \ (ex. \ } 1,2,3 \text{ \ or \ } 2,3,1 \text{ \ or \ } 3,1,2\text{)}, \\ -1 & \text{if \ } (i,j,k) \text{\ is \ } (1,2,3) \text{ odd \ order \ (ex. \ } 1,3,2 \text{ \ or \ } 2,1,3 \text{ \ or \ } 3,2,1 \text{)}, \\ 0 & \text{ if \ there \ are \ two \ same \ id \ (ex. \ } \epsilon_{112}, \epsilon_{233} \text{\ and \ so \ on)}. \end{cases}

8.1. 基本性质

        完全反对称性：

                交换任意两个指标会改变符号：

                        \epsilon_{ijk} = -\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ikj} = -\epsilon_{kji}​     

                因此，

                         \epsilon_{123} = \epsilon_{231} = \epsilon_{312} = 1       

                         \epsilon_{132} = \epsilon_{213} = \epsilon_{321} = -1

        与 Kronecker delta 的关系：

                  满足以下恒等式：        

                         \epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}​

                         这在计算叉积或旋度时非常有用。

        行列式计算：

                  3×3 行列式可以用 Levi-Civita 符号表示：

                         \det(A) = \epsilon_{ijk} A_{1i} A_{2j} A_{3k}​

8.2. 在 Pauli 矩阵中的应用

    Pauli 矩阵 \sigma_i​ 满足以下关系：

                \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k​

    其中：

        \delta_{ij}​ 是 Kronecker delta（当 i = j 时为 1，否则为 0）

        \epsilon_{ijk}​ 是 Levi-Civita 符号

        I 是单位矩阵

推导示例：
计算 \sigma_x \sigma_y​：

        \sigma_x \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = i \sigma_z​

而根据 Pauli 矩阵关系：

        \sigma_x \sigma_y = \delta_{xy} I + i \epsilon_{xyz} \sigma_z = 0 + i (1) \sigma_z = i \sigma_z​

与直接计算一致。

8.3. 在向量运算中的应用

    叉积（Cross Product）：

        两个向量 \mathbf{a} 和 \mathbf{b} 的叉积可以表示为：

                (\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k​

        例如： 

               \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)

    旋度（Curl）：

        向量场的旋度：

               (\nabla \times \mathbf{F})_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k​

8.4. 更高维度的推广

    Levi-Civita 符号可以推广到更高维度（如 4 维时空中的相对论计算），但最常用的是 3 维情况。

8.5. Levi-Civita 总结

     Levi-Civita 符号 \epsilon_{ijk}​ 是一个完全反对称的张量，用于描述排列的奇偶性，在向量运算、Pauli 矩阵关系和行列式计算中非常有用。它的核心性质包括：

        反对称性，交换指标变号。

        与 Kronecker delta 的关系，用于简化张量运算。

        在 Pauli 矩阵中描述乘法关系，\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k ​。

在量子力学中，它帮助描述自旋算符的对易关系，是理解角动量和 Pauli 矩阵的重要工具。

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