自动驾驶控制算法——滑模控制（SMC）原理与建模

自动驾驶控制算法——滑模控制（SMC）原理与建模

一、滑模控制概述与核心思想

1.1 什么是滑模控制？

滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）**是一种面向**非线性、不确定系统的鲁棒控制方法。它通过引入滑模面（sliding surface），将系统的状态“吸引”到该面并沿其滑动，从而实现期望的控制目标。

核心理念如下：

• 设计一个滑模面：描述系统理想行为的“约束面”；
• 设计一个控制律：驱使系统状态先“逼近”该面，然后“沿面滑动”至目标状态；
• 实现控制目标时，系统对建模误差与外部扰动具有鲁棒性。

我们知道，自动驾驶中车辆必须在各种复杂环境下运行，比如：

• 地面摩擦力变化（雨天、冰面）；
• 车辆参数误差（载重变化、转向模型不准确）；
• 突发扰动（风、碰撞、感知误差）；

这些不确定性会让传统的 PID、LQR 控制器性能大打折扣。而滑模控制专门就是为了应对这种“不确定”和“干扰”场景。

1.2 滑模控制的核心思想（你只记这句话也行）

“我设计一条理想轨迹（滑模面），强制系统迅速靠近并贴着它走，哪怕它一开始偏得很远。”

可以类比为：
🚗一辆车行驶在山路上，如果把“滑模面”比作有护栏的安全车道，滑模控制就是一个粗暴但稳定的老司机——只要车一偏出轨道，就用力把它“推回来”。

1.3 它是怎么做到的？

两步：

1. 构造滑模面$s(x)=0$：就像给系统画一条“轨迹线”；
2. 设计控制律 $u(x)$：强制系统状态靠近并一直沿着这条线走。

1.2 滑模控制的闭环结构

滑模控制的闭环结构如图所示：

• 系统误差 $e(t)=x(t)-x_d(t)$ 作为输入；
• 控制器设计一个滑模面 $s(t)$，并输出控制信号 $u(t)$，使得 $s(t)\to 0$；
• 当系统状态落入滑模面后，将强制保持系统在该面上滑动直至终点；
• 利用不变性原理确保滑模阶段系统稳定、鲁棒。

通俗易懂地说：

1. 当前状态误差 → 计算滑模面 $s(x)$；
2. 判断是否偏离滑模面；
3. 偏了就给控制量 $u$，把系统推回来；
4. 系统状态逼近后就开始“滑动”，稳定地走到终点。

1.3 与 MPC / LQR / PID 的对比分析

二、滑模控制器的数学建模（用于自动驾驶横向控制）

本节我们以自动驾驶中的车辆横向控制任务为例，从建模出发，逐步推导滑模控制器的设计方法。

2.1 车辆横向动力学建模（简化单轨模型）

考虑一辆自动驾驶车辆跟随参考轨迹行驶，其横向动力学可通过**Bicycle Model（单轨模型）**描述。

设定如下变量：

• $e_y$：横向误差（车辆质心到轨迹的垂直距离）；
• $e_{\psi }$：航向角误差（车辆朝向与轨迹切线夹角）；
• $v_x$：纵向速度（假设为常量）；
• $\delta$：前轮转角（控制输入）；
• $L$：车辆轴距；

线性化后简化模型如下：

$\{\begin{array}{l}{\dot{e}}_y=v_x{e}_{\psi }\\ {\dot{e}}_{\psi }=\frac{v_x}{L}\delta \end{array}$

状态变量定义：

$x=\left[\begin{array}{c}{e}_y\\ e_{\psi }\end{array}\right],u=\delta$

则状态空间模型为：

$\dot{x}=Ax+Bu,A=\left[\begin{array}{cc}0& v_x\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{v_x}{L}\end{array}\right]$

让车辆精确贴着参考轨迹（例如道路中心线）行驶。

我们关心两个误差：

• $e_y$：横向误差（车离道路中心有多远）；
• $e_{\psi }$：航向误差（车的朝向偏了多少角度）；

最终目标是让这两个误差都变成 0。

2.2 滑模面设计

滑模控制的第一步是构造滑模面：

$s={\dot{e}}_y+\lambda e_y=v_x{e}_{\psi }+\lambda e_y$

其中$\lambda >0$ 是设计参数，用于调节系统响应速度与滑动面形状。

目标是强制系统进入并保持在 $s=0$ 的平面上滑动，即使：

$s(t)\to 0,\text{且}\dot{s}(t)<0\text{（稳定趋近）}$​

简单来说：

我们定义一个“判断偏离程度”的量 sss，称为滑模面：

$s={\dot{e}}_y+\lambda e_y=v_x{e}_{\psi }+\lambda e_y$

它的含义很简单：

只要 $s=0$，说明车辆横向误差和方向误差之间达到了平衡，正好朝着目标轨迹移动。

我们目标是：

$s(t)\to 0\Rightarrow 车辆会自动滑行到参考轨迹。$

2.3 控制律设计

我们希望系统满足趋近条件,我们要求系统状态逼近滑模面，就要控制转角 $\delta$，满足：

$\dot{s}=-\eta \cdot \text{sign}(s),\eta >0$

也就是说，系统状态无论偏到哪边，都要让它“加速度地”靠近$s=0$ 这条线：

$\dot{s}=v_x{\dot{e}}_{\psi }+\lambda {\dot{e}}_y=v_x\left(\frac{v_x}{L}\delta \right)+\lambda v_x{e}_{\psi }$

代入趋近条件：

$v_x\left(\frac{v_x}{L}\delta \right)+\lambda v_x{e}_{\psi }=-\eta \cdot \text{sign}$

解得控制律：

$\delta =\frac{L}{v_x^2}\left(-\lambda v_x{e}_{\psi }-\eta \cdot \text{sign}(s)\right)$

2.4 为什么说滑模控制很“鲁棒”？

• 因为它只关心“是否偏离滑模面”，而不是模型细节；
• 不管外面有风、有载重变化、有非线性扰动——我只让系统逼近并滑动在滑模面上，谁来扰都不怕；
• 控制律中那一项 $\text{sign}(s)$，相当于一种“强制纠偏机制”。

2.5 抖振问题与饱和函数改进

由于 $\text{sign}(s)$ 是非连续函数，直接用会导致控制器输出剧烈切换（chattering），对执行机构（如转向系统）造成冲击。

可使用**饱和函数（saturation function）**替代：

$\text{sat}\left(\frac{s}{\varphi }\right)=\{\begin{array}{ll}1& s>\varphi \\ \frac{s}{\varphi }& |s|\le \varphi \\ -1& s<-\varphi \end{array}$

$\delta =\frac{L}{v_x^2}\left(-\lambda v_x{e}_{\psi }-\eta \cdot \text{sat}(s/\varphi )\right)$

其中 $\varphi$ 是饱和带宽（通常较小），平衡抖振与响应速度。

意思是：

小偏差就“柔和”纠正（线性调节），大偏差才“强制”推回来（饱和控制）。

三、滑模控制的优化机制与发展方向

3.1 滑模控制为什么也需要优化？

虽然滑模控制本身设计就鲁棒、不依赖模型的精准参数，但在实际工程中，我们还希望它：

• 控制更平滑（别抖动）；
• 收敛更快（响应快）；
• 更节能（控制量别太大）；
• 自动适应不同路况（比如转弯时更快收敛）；

于是——
👉 我们不再满足于“只管它稳定”，而是想让它“又稳又好”，这就引入了“优化设计”的思想。

3.2 优化滑模控制的三种方式

我们总结出三类：

3.3 最优滑模面设计：让系统“走得更好”

在基础滑模控制中，我们通常直接设定：

$s={\dot{e}}_y+\lambda e_y$

但这个 $\lambda$ 是人为拍脑袋选的。能不能让它自动“最优”？

解决方法：构造一个代价函数，然后最小化它

我们可以借鉴 LQR、MPC 的思路，引入一个性能指标：

$J={\int }_0^{\infty }\left(e_y^2(t)+\rho \cdot u^2(t)\right)dt$

• 第一个项 $e_y^2$：衡量跟踪误差；
• 第二项 $\rho u^2$：控制能耗或平滑性；
• $\rho >0$ 是权重因子（就像 MPC 中的 $Q,R$）；

目标：找到一组最优参数（如 ${\lambda }^{\ast }$, ${\eta }^{\ast }$），使得系统的整体误差最小。

这时滑模控制就从“鲁棒逻辑控制器”转变为“优化调参系统”。

3.4 自适应滑模控制（Adaptive SMC）

标准滑模控制中，控制律是：

$u=-K\cdot \text{sign}(s)$

但 $K$ 选得太小——系统靠不拢滑模面；
$K$ 选得太大——控制器过于激进、抖动严重。

那怎么办？

👉 让系统自己“看情况”调整 KKK：

控制律改成：

$u=-K(t)\cdot \text{sign}(s),\text{其中 }K(t)\text{ 自动变化}$

例如：

$\dot{K}(t)=\{\begin{array}{ll}\gamma ,& |s|>\varphi \text{（远离滑模面，增大力度）}\\ -\beta ,& |s|\le \varphi \text{（已靠近滑模面，减小力度）}\end{array}$

这种方式等于给控制器加了一点“智能”，能自动判断该强硬还是柔和。

3.5 高阶滑模控制：彻底解决抖动问题

滑模控制抖振（chattering）问题的本质是：

控制律中用了 $\text{sign}(s)$，这是个不连续函数，导致控制输入剧烈跳变。

改进思路：

用控制的导数，设计控制信号连续性：

$\dot{u}=-k_{1}s-k_2\cdot \text{sign}(s)\Rightarrow u(t)\text{ 连续变化}$

最常见的结构是：

• Super-Twisting 算法；
• Twisting + 反步设计；
• 也可以借助 Kalman 滤波器实现低通滤波。

这种改进叫做高阶滑模控制（Higher Order SMC），已在无人车、飞行器中广泛应用。

3.6 与 MPC 融合：预测 + 鲁棒二合一

你一定会问：滑模控制能不能和 MPC 一起用？

答案是 ✅ 可以的，而且是研究热点之一！

• MPC 擅长处理约束、预测未来；
• SMC 擅长处理非线性、干扰、模型不确定；

将 SMC 嵌入到 MPC 的“预测优化框架”中，可以设计出：
“滑模-MPC 控制器”，结合两者优点。

一句话总结本节

滑模控制可以从“鲁棒的控制器”升级为“性能优化器”，优化的不仅是控制律，还有行为、参数、自适应性，甚至能和预测控制融合使用。

你现在理解的知识体系应包括：

四、滑模控制仿真与可视化

本节我们通过 Python 搭建一个滑模控制器仿真平台，用于验证其在轨迹跟踪任务中的表现，并可视化控制过程（状态误差收敛、滑模面逼近、控制输入变化等）。

4.1 控制对象模型：简化车辆横向动力学模型（线性化单轨）

使用如下状态空间模型（同前述）：

$\{\begin{array}{l}{\dot{e}}_y=v_x\cdot e_{\psi }\\ {\dot{e}}_{\psi }=\frac{v_x}{L}\cdot \delta \end{array}$

其中：

• 状态：横向误差 $e_y$，航向角误差 $e_{\psi }$；
• 控制输入：前轮转角 $\delta$；
• 假设：车辆以恒定速度 $v_x$ 运行。

4.2 滑模控制律设计（饱和函数版）

滑模面：

$s=v_x{e}_{\psi }+\lambda e_y$

控制律（平滑饱和函数）：

$\delta =\frac{L}{v_x^2}\left(-\lambda v_x{e}_{\psi }-\eta \cdot \text{sat}(s/\varphi )\right)$

饱和函数定义为：

def sat(x, phi):
    if x > phi:
        return 1
    elif x < -phi:
        return -1
    else:
        return x / phi

4.3 Python 仿真代码（完整示例）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------------------
# 参数设置
# ---------------------
v_x = 5.0      # m/s, 恒定速度
L = 2.5        # m, 轴距
lambda_ = 2.0  # 滑模面参数
eta = 3.0      # 控制强度
phi = 0.2      # 饱和带宽
dt = 0.01      # 仿真步长
T = 10         # 总时间
N = int(T / dt)

# ---------------------
# 初始状态
# ---------------------
e_y = 1.5      # 初始横向偏差（偏离中心1.5m）
e_psi = 0.4    # 初始航向角误差（约23度）
delta_log = []
s_log = []
ey_log = []
epsi_log = []

# ---------------------
# 仿真循环
# ---------------------
def sat(s, phi):
    return np.clip(s / phi, -1, 1)

for i in range(N):
    # 计算滑模面
    s = v_x * e_psi + lambda_ * e_y

    # 计算控制输入
    delta = (L / v_x**2) * (-lambda_ * v_x * e_psi - eta * sat(s, phi))

    # 状态更新（Euler积分）
    e_y_dot = v_x * e_psi
    e_psi_dot = v_x / L * delta
    e_y += e_y_dot * dt
    e_psi += e_psi_dot * dt

    # 记录
    delta_log.append(delta)
    s_log.append(s)
    ey_log.append(e_y)
    epsi_log.append(e_psi)

# ---------------------
# 可视化结果
# ---------------------
t = np.linspace(0, T, N)

plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, ey_log, label='Lateral Error $e_y$')
plt.plot(t, epsi_log, label='Heading Error $e_\\psi$')
plt.ylabel("Error")
plt.title("System State Errors")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, s_log, label='Sliding Surface $s$')
plt.ylabel("s(t)")
plt.title("Sliding Surface Convergence")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, delta_log, label='Control Input $\\delta$')
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Steering Angle [rad]")
plt.title("Control Input (Steering)")
plt.legend()
plt.grid()

plt.tight_layout()
plt.show()

5.4 可视化效果解释

5.5 仿真输出对比图

✅ 图1：轨迹跟踪对比

展示三种控制器与参考轨迹的贴合程度，MPC 贴合最好，其次为 SMC。

✅ 图2：横向误差曲线

显示横向误差随时间的变化，SMC 和 MPC 控制误差更小更稳定，LQR 有较多波动。

✅ 图3：控制输入变化（方向盘转角）

可视化不同控制器对转向控制的稳定性，SMC 控制动作偏大、但迅速；LQR 动作较激进，MPC 平稳。

✅ 图4：控制能耗对比

计算控制输入平方和作为能耗估计，MPC 最节能，SMC 稍高，LQR 能耗最大。

✅ 图5：避障响应与偏离程度

• SMC 响应快，偏离小，适合突发避障；
• LQR 反应慢且偏移大；
• MPC 折中响应与偏离，整体性能较稳。