代码随想录day59图论9

dijkstra（堆优化版）精讲

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文章讲解

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std; 
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
    bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
        return lhs.second > rhs.second;
    }
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
    int to;  // 邻接顶点
    int val; // 边的权重

    Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<list<Edge>> grid(n + 1);

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val; 
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid[p1].push_back(Edge(p2, val));

    }

    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    // 记录顶点是否被访问过
    std::vector<bool> visited(n + 1, false); 
    
    // 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;


    // 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
    pq.push(pair<int, int>(start, 0)); 
    
    minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

    while (!pq.empty()) {
        // 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
        // <节点， 源点到该节点的距离>
        pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();

        if (visited[cur.first]) continue;

        // 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
        visited[cur.first] = true;

        // 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
        for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
            // cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
            if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
                minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
                pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
            }
        }

    }

    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}

Bellman_ford 算法

为什么 Dijkstra 算法不适用于负权边？
Dijkstra 算法基于贪心策略，每次选择当前已知的最短路径，假设所有权重是非负的。在处理负权边时，贪心选择的最短路径可能不是全局最优的，因为负权边可能导致经过某些节点的路径更短，但 Dijkstra 可能在处理时错过这种情况。

例如，假设图中存在一条负权边，在 Dijkstra 选择节点时，如果它已经选择了某条路径，但后来通过负权边会找到一个更短的路径。这时，如果算法依赖于已选择的路径，就无法回溯并更新已经确定的最短路径。

对于带有负权边的图，通常使用 Bellman-Ford 算法 来计算最短路径，它能够正确处理负权边，并能检测是否存在负权环。
Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路。
如果 通过 A 到 B 这条边可以获得更短的到达B节点的路径，即如果 minDist[B] > minDist[A] + value，那么我们就更新 minDist[B] = minDist[A] + value ，这个过程就叫做 “松弛” 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m; // 输入图的节点数n和边数m

    // 使用二维vector grid 存储所有的边，每个边是一个 {x, y, z} 三元组
    vector<vector<int>> grid;

    // 初始化mindist数组，将起点到其他节点的最短距离设置为无穷大（INT_MAX）
    vector<int> mindist(n + 1, INT_MAX);

    // 输入每条边的信息，并存储到 grid 中
    while (m--) {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z; // 读取一条边，边从节点x到节点y，边权为z
        grid.push_back({x, y, z}); // 将这条边加入到 grid 中
    }

    // 起点1到自己的最短距离为0
    mindist[1] = 0;

    // Bellman-Ford 算法，进行 n-1 轮松弛操作
    // Bellman-Ford 的核心是更新所有节点之间的最短路径
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 遍历所有的边
        for (auto& j : grid) {
            // 从边 j 中提取出 x, y, z 分别表示边的起点、终点和权重
            int x = j[0];
            int y = j[1];
            int z = j[2];

            // 如果从节点x到y的最短路径已知，且经过这条边能得到更短的路径
            if (mindist[x] != INT_MAX && mindist[y] > mindist[x] + z) {
                // 更新节点y的最短路径
                mindist[y] = mindist[x] + z;
            }
        }
    }

    // 判断目标节点n的最短路径是否仍为 INT_MAX，如果是，表示目标节点不可达
    if (mindist[n] == INT_MAX)
        cout << "unconnected"; // 如果目标节点不可达，输出 "unconnected"
    else
        cout << mindist[n]; // 否则，输出从节点 1 到节点 n 的最短路径

}