试想，你向装满水的盆里，滴上一滴水，水波就会一圈一圈蔓延开，遇到盆的边缘又会反弹回来；又或者再走廊里说话，声音就在墙壁之间回荡 —— 这些都是波的反射现象在生活中的生动体现。
然而对于机械波的透射，再我们在所认识的只关心现象中，似乎比较少见。毕竟，“隔墙有耳”这种，更多的是声波的衍射，而不是透射。倒是光波的透射现象比较易于感知，但它又不是机械波。
波动世界里，机械波在均匀介质中可以匀速传播，但当它抵达不同介质的 "边境线" 时，就会上演一场奇妙的 "分身术"：一部分波原路返回，这就是反射；另一部分则穿越边界继续前行，成为透射波。更有趣的是，在特定情况下，反射波还会发生神秘的 "相位突变"，这就是我们要探讨的半波损失。
下文讨论了这些现象的物理规律，然后，为了更直观地展现这些现象，进行了MATLAB建模仿真。
一、机械波的反射和透射现象
（一）基本概念：
机械波本质上是振动在介质中的传播，介质的性质（如密度、弹性模量）决定了波的传播速度，就像不同路况影响汽车行驶速度一样。当波从一种介质进入另一种介质时，在两种介质的分界面处，由于 "路况" 突变，波的传播方向和强度会发生改变。
反射就像波遇到了 "镜子"，比如回声是声波的反射，我们能看到物体是因为光的反射（光本质上是电磁波，但反射规律与机械波相似）；透射则像波穿过了 "栅栏"，比如阳光能穿透玻璃照亮房间，超声波能穿透人体进行检查。
（二）反射和透射的规律：波的 "交通规则"
波在分界面处的行为遵循严格的 "交通规则"，这些规则由荷兰科学家斯涅尔等人总结发现：
- 共面性：入射波、反射波和透射波的传播方向（波线）与分界面的法线（垂直于界面的直线）始终在同一个平面内，就像所有车辆都在同一平面内行驶。
- 反射定律：反射角等于入射角。可以想象成篮球撞向篮板时，反弹角度与撞击角度相等，这是最直观的波动规律。
- 透射定律（折射定律）：入射角的正弦与透射角的正弦之比，等于波在两种介质中的传播速度之比。当波从波速大的介质进入波速小的介质时，透射角会小于入射角，就像车辆从高速路驶入低速路时会自动转向内侧。
这些规律不仅适用于机械波，也适用于电磁波（包括光），是波动世界的通用法则。
（三）半波损失
半波损失是波在反射时发生的奇妙现象：当波从波疏介质（波速大的介质）入射到波密介质（波速小的介质）时，反射波的相位会突然反转，相当于波传播了半个波长的距离后发生的变化，因此得名 "半波损失"。
与光的联系：薄膜干涉中的 "明暗密码"
半波损失在光学中有着重要应用。比如我们常见的肥皂泡五颜六色的花纹，就是光的干涉现象，而半波损失是导致干涉条纹明暗变化的关键 "密码"。当光从空气（波疏介质，光速约300000km/s）入射到肥皂膜（波密介质，光速约200000km/s\)）时，反射光会发生半波损失；而当光从肥皂膜入射到空气时，反射光则没有半波损失。这两种情况的相位差会导致干涉加强或减弱，从而形成绚丽的彩色条纹。
在机械波中，比如绳子上的波：当绳子一端固定（相当于波密介质边界），波反射时会出现半波损失，表现为反射波与入射波在边界处振动方向相反（这点在生活中，用跳绳甩一甩就能够验证）；如果绳子一端自由（相当于波疏介质边界），则没有半波损失，反射波与入射波振动方向相同。
判断波疏与波密介质的 "黄金标准"：波速大的是波疏介质，波速小的是波密介质。这一标准对机械波和电磁波（包括光）均适用。
二、MATLAB 模拟仿真：亲眼见证波的 "跨界之旅"
（一）1 维波的反射与传播模拟：波的 "直线跨界"
基本原理
一维情况下，我们可以把波想象成沿绳子传播的振动。采用有限差分法求解波动方程，就像用一系列离散的点来模拟连续的波动过程。通过设置两种介质的波速差异，观察波在分界面处的反射和透射行为。
% 1维波的反射与透射模拟（修正版）
clear; clc; close all;
% 参数设置
L1 = 5; % 介质1长度
L2 = 5; % 介质2长度
N1 = 100; % 介质1网格数
N2 = 100; % 介质2网格数
dx = L1/N1; % 空间步长
x1 = -L1:dx:0; % 介质1坐标（含0点，共N1+1个点）
x2 = dx:dx:L2; % 介质2坐标（从dx开始，避免与x1的0点重复）
x = [x1, x2]; % 总坐标（长度N1+1 + N2）
N = length(x); % 总网格数（应为201）
v1 = 0.618; % 介质1波速
v2 = 0.1416; % 介质2波速
% 注意波速的设定值不要过大，否则会出现波形错乱、无意义的振荡、振幅异常增大的现象
dt = 0.01; % 时间步长（满足CFL条件）
% 这里CFL条件就是——
%在一个时间步长内，波传播的距离不能超过一个空间网格的长度。
%如果违反该条件，数值解会出现不稳定的振荡，甚至发散，无法准确反映波的真实传播情况。
T = 10; % 总时间
nt = round(T/dt);% 时间步数
% 初始位移（高斯脉冲波源）
u = zeros(1, N);
u_prev = u;
u_next = u;
sigma = 0.5;
x0 = -L1 + 1;
u(1:N1+1) = exp(-((x1 - x0).^2)/(2*sigma^2));
% 创建动画
fig = figure('Position', [100, 100, 800, 500]);
ax = axes(fig, 'Position', [0.1, 0.1, 0.8, 0.8]);
for n = 1:nt
% 介质1内部计算（不含分界面和边界）
for i = 2:N1 % 注意：N1是100，这里i最大为100（x1的倒数第二个点）
u_next(i) = 2*u(i) - u_prev(i) + (v1^2*dt^2/dx^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
% 分界面处理（x=0处，即x1的最后一个点）
i_interface = N1 + 1; % 分界面索引（101）
u_next(i_interface) = 2*u(i_interface) - u_prev(i_interface) + ...
(v1^2*dt^2/dx^2)*(u(i_interface+1)-2*u(i_interface)+u(i_interface-1));
% 介质2内部计算
for i = (N1 + 2):(N-1) % 最大i为N-1（200），确保i+1不超过201
u_next(i) = 2*u(i) - u_prev(i) + (v2^2*dt^2/dx^2)*(u(i+1)-2*u(i)+u(i-1));
end
% 边界条件（固定端）
u_next(1) = 0;
u_next(end) = 0;
% 更新位移
u_prev = u;
u = u_next;
% 每10步绘图
if mod(n, 10) == 0
cla(ax);
plot(x1, u(1:N1+1), 'b', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(x2, u(N1+2:end), 'r', 'LineWidth', 2);
line([0, 0], [-120, 120], 'Color', 'k', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.5);
text(-5, -10, sprintf('介质1（v=%.4f）', v1), 'Color', 'b');
text(0, -10, sprintf('介质2（v=%.4f）', v2), 'Color', 'r');
xlabel('位置x'); ylabel('位移');
title(['1维波传播（t = ', num2str(n*dt, '%.1f'), 's）']);
%ylim([-120, 120]); grid on;
legend('入射波与反射波', '透射波', '分界面');
drawnow;
end
end
因此，如果你的设置波速较快，或者仿真时间较长，还可以看到反射波的叠加
模拟效果：蓝色波形代表介质 1 中的入射波和反射波，红色波形代表介质 2 中的透射波。如代码中的参数，当波从波疏介质（v=0.6180）进入波密介质（v=0.1416）时，反射波会出现明显的相位反转（半波损失），表现为与入射波的振动方向相反；而透射波则保持原相位方向，只是传播速度变慢。
（二）2 维波的反射与传播模拟：波的 "平面跨界"
基本原理
二维情况下，波像水面波纹一样向四周扩散。我们用二维网格模拟平面空间，通过有限差分法求解二维波动方程，观察波在两种介质分界面处的反射、折射现象。
以下代码采用伪彩色图和动态色标，让波的传播强度分布更清晰：
% 2维波的反射与透射模拟
clear; clc; close all;
% 参数设置
L = 10; % 区域大小
N = 100; % 网格数（每边网格数量）
dx = L/N; % 空间步长
x = 0:dx:L; % x坐标
y = x; % y坐标（与x对称）
[X, Y] = meshgrid(x, y); % 生成网格坐标
v1 = 1; % 左侧介质波速（波疏）
v2 = 0.6; % 右侧介质波速（波密）
dt = 0.01; % 时间步长（满足CFL条件）
T = 8; % 总模拟时间
nt = round(T/dt); % 时间步数
% 初始位移（高斯脉冲波源）
u = zeros(N+1, N+1); % 当前位移矩阵（N+1阶）
u_prev = u; % 前一时刻位移
u_next = u; % 下一时刻位移
sigma = 0.8; % 高斯脉冲宽度
x0 = 3; y0 = 5; % 波源位置
u = exp(-((X - x0).^2 + (Y - y0).^2)/(2*sigma^2));
% 创建动画窗口
fig = figure('Position', [200, 200, 800, 600]);
ax = axes(fig, 'Position', [0.1, 0.1, 0.7, 0.8]);
caxis([-0.6, 0.6]); % 固定颜色范围
for n = 1:nt
% 内部网格计算（避免边界索引溢出）
for i = 2:N % i范围：2到N（避免i+1=N+1超出索引）
for j = 2:N % j范围：2到N（同上）
% 根据x位置选择波速（左半区域v1，右半区域v2）
if x(j) < L/2
v = v1;
else
v = v2;
end
% 二维波动方程差分格式（拉普拉斯算子离散化）
u_next(i,j) = 2*u(i,j) - u_prev(i,j) + ...
(v^2*dt^2/dx^2)*( ...
u(i+1,j) - 2*u(i,j) + u(i-1,j) + ... % y方向二阶导数
u(i,j+1) - 2*u(i,j) + u(i,j-1) ); % x方向二阶导数
end
end
% 固定边界条件（边缘位移始终为0）
u_next(1,:) = 0; % 上边界
u_next(end,:) = 0; % 下边界
u_next(:,1) = 0; % 左边界
u_next(:,end) = 0; % 右边界
% 更新位移矩阵
u_prev = u;
u = u_next;
% 每5步绘图（优化可视化）
if mod(n, 5) == 0
cla(ax); % 清空当前轴
p = pcolor(X, Y, u); % 伪彩色图显示波场
shading interp; % 插值平滑
line([L/2, L/2], [0, L], 'Color', 'w', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 2); % 分界面
% 显示介质波速信息
text(L/2-2, L-1, sprintf('介质1（v=%.1f）', v1), 'Color', 'w', 'FontSize', 12);
text(L/2+0.5, L-1, sprintf('介质2（v=%.2f）', v2), 'Color', 'w', 'FontSize', 12);
xlabel('x坐标');
ylabel('y坐标');
title(['2维波传播（t = ', num2str(n*dt, '%.1f'), 's）']);
axis equal; % 等比例显示
axis tight; % 紧凑显示范围
% 重新创建或更新颜色条，避免对象失效
if ~exist('cbar', 'var') || ~isvalid(cbar)
cbar = colorbar('Position', [0.85, 0.1, 0.03, 0.8]);
end
cbar.Label.String = '位移强度';
drawnow;
end
end
模拟效果：伪彩色图直观展示了波的强度分布（颜色越深表示位移越大）。中间的白色虚线是分界面，左侧波速快，右侧波速慢。可以清晰看到波遇到分界面后分成两部分：反射波向左侧反弹，透射波向右侧偏折（折射），符合折射定律。当波从波疏介质进入波密介质时，反射波的相位变化在图中表现为颜色分布的对称性破缺，与光的反射现象高度相似。
如果觉得二维颜色以及不直观，可以复制这个代码看效果：
% 2维波的反射与透射模拟（三维网格显示）
clear; clc; close all;
% 参数设置
L = 20; % 区域大小
N = 50; % 网格数（平衡性能与精度）
dx = L/N; % 空间步长
x = 0:dx:L; % x坐标
y = x; % y坐标
[X, Y] = meshgrid(x, y); % 生成网格坐标
v1 = 3.1416; % 左侧介质波速（波疏）
v2 = 1.4142; % 右侧介质波速（波密）
dt = 0.01; % 时间步长（满足CFL条件）
T = 30; % 总模拟时间
nt = round(T/dt); % 时间步数
% 初始位移（高斯脉冲波源）
u = zeros(N+1, N+1); % 当前位移矩阵
u_prev = u; % 前一时刻位移
u_next = u; % 下一时刻位移
sigma = 0.8; % 高斯脉冲宽度
x0 = 3; y0 = 5; % 波源位置
u = exp(-((X - x0).^2 + (Y - y0).^2)/(2*sigma^2));
% 创建3D显示窗口
fig = figure('Position', [200, 200, 1000, 700]);
ax = axes(fig);
view(3); % 设置3D视角
axis tight;
xlabel('X坐标');
ylabel('Y坐标');
zlabel('位移');
title('2维波传播的三维网格显示');
for n = 1:nt
% 内部网格计算
for i = 2:N
for j = 2:N
% 根据位置选择波速
if x(j) < L/2
v = v1;
else
v = v2;
end
% 二维波动方程差分格式
u_next(i,j) = 2*u(i,j) - u_prev(i,j) + ...
(v^2*dt^2/dx^2)*( ...
u(i+1,j) - 2*u(i,j) + u(i-1,j) + ...
u(i,j+1) - 2*u(i,j) + u(i,j-1) );
end
end
% 固定边界条件
u_next(1,:) = 0; % 上边界
u_next(end,:) = 0; % 下边界
u_next(:,1) = 0; % 左边界
u_next(:,end) = 0; % 右边界
% 更新位移矩阵
u_prev = u;
u = u_next;
% 每10步绘制3D网格
if mod(n, 10) == 0
cla(ax); % 清空当前轴
% 绘制三维网格表面
surf(X, Y, u, ...
'EdgeColor', 'k', 'EdgeAlpha', 0.3, ... % 网格线设置
'FaceColor', 'interp', 'FaceAlpha', 0.7); % 表面透明度设置
% 绘制分界面（垂直平面，修正Alpha属性错误）
hold on;
[Z_grid, Y_grid] = meshgrid([-0.5, 0.5], y); % 匹配维度
% 使用FaceAlpha设置表面透明度
surf(ones(size(Y_grid))*L/2, Y_grid, Z_grid, ...
'FaceColor', 'r', 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.3);
% 显示介质信息
text(2, L-1, 0.5, sprintf('介质1（v=%.3f）', v1), ...
'Color', 'b', 'FontSize', 12);
text(L-2, L-1, 0.5, sprintf('介质2（v=%.3f）', v2), ...
'Color', 'r', 'FontSize', 12);
% 设置视角和范围
view(30, 45); % 视角
zlim([-50, 50]); %坐标范围，根据波的振幅显示调整，或者注释掉自动适应，但是这样显示容易抽风
title(['3D网格显示：t = ', num2str(n*dt, '%.1f'), 's']);
drawnow;
end
end
三、总结：波动世界的 "跨界法则"
通过理论分析和模拟实验，我们系统认识了波的反射与透射规律：
- 通用法则：反射定律和折射定律是所有波动的 "通行证"，无论是机械波还是电磁波都必须遵守。
- 半波损失的特殊性：仅发生在波从波疏介质到波密介质的反射过程中，是理解薄膜干涉、声波反射等现象的关键。
- 模拟的价值：MATLAB 的可视化模拟让抽象的波动规律变得直观可见，通过调整波速、介质边界等参数，可以探索更多 "如果... 会怎样" 的波动场景，比如模拟声波在不同介质中的传播来优化建筑声学设计，或者模拟光波在多层膜中的行为来设计光学滤镜。
最后来一段AI文案收尾吧——
波动的折射反射现象无处不在，从海洋的潮汐到手机的信号，从琴弦的振动到彩虹的形成，掌握这些规律能让我们更好地理解自然，并创造出更美好的技术产品。下次当你看到水面的波纹或听到山谷的回声时，不妨试着用今天学到的知识来解读这背后的波动奥秘！