https://algorithm-visualizer.org/branch-and-bound/binary-search
这个网站可以像看动画一样，观看算法执行，有助于理解。
如果打不开，可以搜索，在线算法工具，多试几个，有了这种工具，可以更好理解算法。
https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/Algorithms.html
顺序查找
在一组数据中找到对应的记录，顺序查找是一个一个地扫描，直到找到对应的记录。
顺序查找对数据没有任何要求
时间复杂度
顺序查找的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数据集的大小：
- 最好情况：目标元素在第一个位置，时间复杂度 O(1)
- 最坏情况：目标元素在最后一个位置或不存在，时间复杂度 O(n)
- 平均情况：目标元素在任意位置的概率相等，平均时间复杂度 O(n)
空间复杂度
顺序查找的空间复杂度为 O(1)，因为它只需要固定的额外空间来存储索引和临时变量，不随数据集大小变化
在以下数组中查找数字 7：
[2, 5, 1, 9, 3, 6, 7]
步骤1: [3, 8, 2, 7, 5, 9]
↑
比较3和7 -> 不相等
步骤2: [3, 8, 2, 7, 5, 9]
↑
比较8和7 -> 不相等
步骤3: [3, 8, 2, 7, 5, 9]
↑
比较2和7 -> 不相等
步骤4: [3, 8, 2, 7, 5, 9]
↑
比较7和7 -> 相等，找到目标，返回索引3
二分查找
二分查找是将记录顺序排列，查找时先将序列的中间元素作为比较对象。如果要找的元素的值小于该中间元素的值，那么只需要在前一半的元素中继续查找；如果要找的元素的值等于该中间元素的值，那么查找结束；如果要找的元素的值大于该中间元素的值，那么只需要在后一半元素中继续查找。
假设要在下面的数据中找到 19
第一次，找到中间元素 21 ，大于19，前一半
第二次，在前一半中找到中间元素15，小于19，在后一半中
第三次，在后一半中找到中间元素19，刚好相等，找到了
二分算法的复杂度：
| 复杂度类型 | 迭代实现 | 递归实现 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(log n) | O(log n) |
| 空间复杂度 | O(1) | O(log n) |
二叉查找树
二叉查找树是将一组无序的数据构造成一颗有序的树，设计思想与二分查找的设计思想类似。
二叉查找树：每个节点最多有两个子节点(二叉树)；每个节点都大于自己的左孩子，同时小于自己的右孩子(有序)
假设要在下面的数据中找到指定元素
首先将这些数据按照二叉查找树的规则构建树
假设我们要搜索元素4，在顺序查找中，需要从第一个元素遍历到最后一个元素，才能找到。
即使使用二分查找，也需要先做一次排序，在进行查找，而排序则需要更多的资源。
使用二叉查找树，虽然也需要做一次排序，但是树和数组在排序好后，增加修改和删除元素的代价相比，树更低。
搜索的成本相同。
查找：
| 数据结构 | 查找时间复杂度 | 前提条件 |
|---|---|---|
| 有序数组 | O(log n) | 数组必须有序 |
| 二叉搜索树 | O(log n) | 树必须平衡 |
维护：
| 操作 | 有序数组 | 二叉搜索树 | 差异倍数 |
|---|---|---|---|
| 查找 | O(log n) | O(log n) | 1:1 |
| 插入 | O(n) | O(log n) | n:log n |
| 删除 | O(n) | O(log n) | n:log n |
| 空间开销 | O(n) | O(n) | 数组更紧凑 |
需要注意的是，二叉查找树可能面临退化
比如[3,2,1,5,6,7,9]
按照上述规则构建二叉查找树
退化为二分查找的了。
同时如果元素可重复的话：
平衡二叉树
平成二叉树是二叉查找树的改进版，除了要满足二叉查找树的定义，还必须满足任意节点的平衡因子(两颗子树的高度差)的绝对值最大为1.
比如上面的二叉查找树，存在很明显的，右子树比较长，查找起来就需要比较更多的元素。甚至退化为顺序查找。
而平衡二叉树会对长的子树进行重新设置，控制整体平衡因子
即使这颗树中，存在大量的重复元素4，但是其整体高度以及子树之间的差距比较小。
比如查找8元素
只需要比较5次
不同平衡树的成本对比
| 平衡树类型 | 查找成本 | 插入成本 | 删除成本 | 旋转复杂度 | 平衡标准 |
|---|---|---|---|---|---|
| AVL树 | O(log n) | O(log n) | O(log n) | 严格，最多2次旋转 | 高度平衡（严格） |
| 红黑树 | O(log n) | O(log n) | O(log n) | 宽松，最多3次旋转 | 颜色约束（宽松） |
| B树 | O(log n) | O(log n) | O(log n) | 节点分裂/合并 | 节点最小度数 |
| 伸展树 | O(log n) 均摊 | O(log n) 均摊 | O(log n) 均摊 | 无显式平衡操作 | 访问频率 |
B 树
B树是平衡二叉树的扩展，也是一棵平衡树，但是是多叉的，不是二叉的。
B树的特点：每个节点都存储了真实的数据；B树的查询效率与键在B树中的位置有关，最大时间复杂度与B+树(数据在叶子节点上)相同，最小时间复杂度为1(数据在根节点)
如果有重复元素
假设最大孩子树为3，那么每个节点最多可以存储2个元素值，而孩子则位于两个元素的三个位置。
查找
B+树
B+树是B树的变体，其定义与B树的定义基本一致。与B树相比，B+树的不同点如下：
- B+树的键都出现在叶子节点上，可能在内节点上重复出现
- B+树的内节点存储的都是键值，简直对应的具体数字都存储在叶子节点上。
- B+树比B树占的空间更多，因为B+树的叶子节点包括所有数据，而B树是整颗树包含所有数据。多处的部分就是B+树的内节点，但是B+树的内节点具有索引的作用，B+树的查询效率更高。
查找
个人理解：B树针对单个元素的查找已经非常的快了，而且基本上是稳定的。
但是MySQL有范围查询，如果范围比较大，基本上需要将树遍历很多次，这个性能影响就很大了。
而B+树的叶子节点，也是一个顺序列表，如果是范围查询，那么只需要找到边界值即可，剩余元素就可以直接读取，不需要在从根节点查询了。
B+ 树索引
B+树索引就是基于B+树发展而来的，通常在 InnoDB上对某个字段添加索引，就是对这个字段构建一棵B+树。当查询条件是该索引字段时，查询速度非常快，对比逐行扫描，性能非常明显。