高数复习笔记 1

前言

take it easy ，我要把一些不太清楚的知识点记录整理下来，不然复习完了之后就很难找到了。

性质

$F(x)=f(x)+f(-x)$ 是偶函数

$G(x)=f(x)-f(-x)$ 是奇函数

$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

悬链线

$arcsinx$

$arctanx$

正无穷方向的极限是 $\frac{\pi }{2}$ ，负无穷方向的极限是 $-\frac{\pi }{2}$

$ln(x+\sqrt{1+x^2})$

观察可以发现是一个奇函数。反双曲正弦。
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$x\to 0,ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x$$

$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

某个常用的奇函数

$$f(x)=\frac{1}{a^x+1}-\frac{1}{2}$$ 是奇函数。证明的话，可以取 f(-x) ，通分之后上下同时乘以 $a^x$

奇函数偶函数运算之后的奇偶性

实际上不需要硬背，根据奇函数，偶函数的性质，假设是奇函数，对应给一个负号，假设是偶函数，不变，代入即可算得答案。复合函数也是同样的道理，确实不需要死记硬背，理解得非常深刻。非常爽。

总结

有一些东西我是知道的，就不需要整理，我只需要整理那些自己不知道或者不熟练的知识点，例题，方法。

周期

$sinwx,T=\frac{2\pi }{w}$

最小正周期为 $\pi$ 的函数

$$si{n}^{2}x,co{s}^{2}x,tanx,cotx,|sinx|,|cosx|$$
$$si{n}^{2}x=\frac{1-cos2x}{2},co{s}^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}$$

奇函数偶函数

实际上大部分情况就是把式子化简一下，从定义出发判断奇函数/偶函数。可以结合定积分考察。定积分的积分区间假设是对称的，被积函数是奇函数，积分结果是零。偶函数的话可以把积分区间减半，系数变成两倍。

变限积分求导

假设被积函数是连续的，那么求导就是，把积分区间的端点的函数表达式代入被积函数，并对积分区间端点求导，两者相乘，作差。感觉极限的题是真的多啊。极限，一生之敌！！！

求导与奇函数，偶函数，周期函数

求导之后，奇函数/偶函数的奇偶性需要切换，周期保持不变（假设是周期函数的话）

奇函数上下平移之后

就不是奇函数了。

变限积分

$${\int }_0^{x}f(t)dt$$
积分下限是 0 是一个比较重要的内容。奇函数的积分是偶函数。偶函数的积分，只有一个是奇函数，就是 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 这个函数。变限函数的自变量是积分上下限，这个是和一般的函数的区别。

一个周期的积分值为零，函数原本是周期函数，它对应的变上限积分也是同样周期的函数。

单调

求导和积分，单调是无关的。

二次积分

后面积分的结果是前面积分的被积分函数。

总结

极限的内容非常庞杂。不知道自己需要花多长的时间才能学完。今天是 25 年 4 月 29 号。算了，也别计划啥时候学完，感觉自己的实力难以完成自己的计划，只求每天都能学一点吧，别中断可能是一个比较理想的状态。奇偶性这个部分还是非常具有操作性，需要学得非常细致和扎实。

无穷小量和阶

好好梳理一遍。对于无穷小，更小的是，高阶无穷小。这个怎么理解呢，我理解为，高阶无穷小趋近于零的速度更快，假设是零比零类型，高阶无穷小更快趋近于零了，从理解上来说，可以认为分子已经到零了，分母还在趋近于零的过程中，比如说还只到 1 ，此时分母是一个常数，分子是零，最后的结果就是零。这就是阶的概念。其他比较简单。这里不再赘述。

k 阶无穷小

$$f(x)=A{x}^k,x\to 0$$ 这表示 f(x) 是 x 的 k 阶无穷小。

注意

我们算趋势，不能取到那个点。比如说， $x\to 0,sin(xsin\frac{1}{x})\sim xsin\frac{1}{x}$ 是错误的等价！！！因为里面的极限是零，不是趋近于零了，和我们等价的前提条件不符合。

心态

虽然内容比较多，但是不要着急。慢慢来。就好了。

对我个人来说比较陌生的一个等价

$$a^x-1\sim xlna,a>0,a\ne 1$$
$$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$$

努力

多努力肯定可以把考研数学学得贼溜。学数学，实际上学任何科目都需要复盘。

不等式

$$x\in (0,\frac{\pi }{2}),tanx>x>sinx$$
$$x>0,x>sinx$$

等价无穷小替换准则

乘除法替换：一定是整体的乘除法，不能是部分。这个非常细节。我发现我的极限，实际上还是学的非常扎实的，夸夸自己。刚刚回顾了一下 codeforces ，感觉还是力大砖飞，数量上去了，实力怎么也上去了。我之前完全是练着林黛玉的量，操着施瓦辛格的心。按照我的理解，把遇到的题弄清楚，在这个基础上，做的练习越多，实力就越强，稳定性就越强。不管是数学题还是算法题都是这个道理。那些 codeforces 的 rating 比较高的，无一例外，全部都是刷了几千道题。量变引起质变。我的 codeforces 上面只有一百多题的通过记录，并且都是简单题。健身也是这样。也是需要训练容量的积累。

两个 e 作差

把后面的部分提出来，就可以凑出 $e^x-1$ 这个形式，从而使用等价无穷小。

$f(x)\to 1$

$$lnf(x)\sim f(x)-1$$
$$f^{\alpha }(x)-1\sim \alpha [f(x)-1]$$
$$x\to 0,ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x,lncosx\sim -\frac{1}{2}{x}^2,1-co{s}^{\frac{1}{n}}x\sim \frac{1}{n}\frac{1}{2}{x}^2$$

泰勒

泰勒展开之后可以和奇函数，偶函数结合，可以出现很多零，让计算变得非常简单。常见的麦克劳林公式得记住。讲义 21 面，这种东西也不用担心，多看几遍，多抄写几遍，自然就记住了，这不是解决啥世界性的创新难题，就是看一个熟练度罢了。

通过导数判断原函数的阶数

我们需要判断函数的阶数，可以对其进行求导，然后对导数做不定积分，积分出来的结果和函数的阶数是一致的。实际上出现变限积分，我们一般就使用求导。前面还需要对导数进行等价无穷小替换，这样方便积分。考研数学选择题全是单选。根号里面可以认为是一个因式。

变限积分的阶数

$$x\to 0,{\int }_0^{g(x)}f(t)dt,g(x)\sim x^n,f(x)\sim x^m,I\sim n(m+1)$$

总结

感觉好多，看不到头。 慢慢来。高数我理解为九个板块内容，极限，一元微分，一元积分，微分方程，中值定理，多元微分，二重积分，无穷级数，三重积分。复习资料是做不完的，非常庞大，肯定是有一些内容是重复的，先保证自己能吃透一个老师的所有核心资料，再在这个基础上补充一些练习题。一种腿法练了一千次的人是武林高手。讲道理说，假设真的题目大部分都会做，一本练习题 9 + 6 + 6 = 21 天就能写完。喜欢算。对于无穷小的问题一定要有阶的感觉。多练习。多练习和总结就是唯一的办法。

计算极限

加减法里面见到存在的极限，就从加减法处拆开。先定型，后定法，定法之前要四化，非零因子淡化，加减法里面极限存在就拆开，根式有理化，幂指转化。两个 e 作差，可以选择拉格朗日，也可以选择提取公因式（把减数作为因子），这个因式肯定就是一个非零因子，就可以淡化了。求极限真的想拍案叫绝！！！洛必达结合加减法可以拆开，可以计算一些稍微复杂的题。补项，凑出来存在的极限，然后加减法里面极限存在就可以拆开计算。这样就非常巧妙了。对于分式，并且是无穷小的问题，有阶的感觉非常容易解题。非零因子淡化需要是整体的因子，不能是部分的因子。另外对数函数因为计算有特殊的性质，见到根式，或者乘除法，我们没有办法的时候可以考虑把原来的式子幂指转换，然后幂指转换之后因为有常见的等价无穷小，替换之后可以简化计算。因为根号可以根据对数函数的性质，移到前面作为对数的系数。对数函数的真数部分可以做等价无穷小和等价无穷大的替换。

$\infty -\infty$

通分，倒代换，提出主要矛盾。对数的真数抓大头需要是乘除法。豁然开朗。很多题非常有操作性。平时要多思考，因为寄希望于考试的时候思考出来有点不靠谱。

无穷大减去无穷大，同分，倒代换，提出最大项。倒代换的好处是可以出现分式，分式可以方便我们的计算。

$1^{\infty }$

头顶的指数拿下来，底数作为因子减去一。属于非常重点的内容。但是也是非常简单的内容。感觉求极限和求积分这块确实有很多技巧性的东西。从头算到尾最后算出正确答案确实非常爽。

$0^{0}and{\infty }^0$

反双曲正弦求导之后的结果要直接记住比较好。我写在讲义 18 面了。复合函数求导可以算出来的。整体法抓大头，在某些关键步骤能起到画龙点睛的作用。

变限函数极限

自变量是，积分上下限里面的变量。积分变量是 d 后面的变量。变限函数的自变量是积分上下限的变量。这个非常关键。但是不标黑了，嘿嘿。被积分函数连续，变限函数可导。这句话不得不加粗了，因为我真的忘光了……变限函数求导是求极限的非常常见的手段和方法。首选是洛必达法则。

假设变限函数的积分变量和自变量混在一块儿，需要用换元法来进行处理。换元的时候把积分变量，积分上下限，被积函数换掉，三个部分都需要换。换元之后可以把被积函数里面的自变量的部分拿到积分外面，作为积分的系数，因为自变量的部分相对于积分变量来说是常数，或者说我们可以将它视为常数。我们认为的标准型的变限函数是，被积函数里面不会出现自变量。假设出现了，我们需要将自变量提到积分外面或者换元法进行处理。换元法稍微麻烦一点，考察的概率更高一些。

凑微分不会改变积分上下限的关系。这个我虽然没有直接写。但是感觉自己写的时候肯定会犯迷糊。

洛必达！！！

$$\frac{\ast }{\infty }$$ 这种形式，假设满足其他条件，也可以使用洛必达。这是数学分析上面给的定义。

二次积分结合变限函数，洛必达

实际上就是把后面的积分结果作为前面积分的被积函数的积分。二次积分可以视为是一种特殊的变限函数。把握住变限函数的自变量在积分上下限这个点就还算比较容易。

二次积分调换积分次序

本来以为二次积分非常简单的，现在看貌似有一些难度。。。原来是这样。就是把积分区域画出来，然后是二次积分非常丝滑的一套连招，定两个点，然后绘制一条射线，先射到的部分是积分下限，后射到的部分是积分上限，然后被积函数保持不变，这是针对直角坐标系。

考察的大概率不是标准型的变限积分，不然还是太简单了，那就是想送分。标准型的变限积分表示的就是，被积函数里面不包含自变量，只包含积分变量。非常单纯。但是感觉现实社会大部分时候都非常复杂。。。

第一积分中值定理

f(x) 在 $(a,b)$ 连续，g(x) 在 $(a,b)$ 可积且不变号， $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx,\xi \in (a,b)$$
这个知识点之前都没有学过，看不懂某些解析步骤或者不会写某些题是情有可原的。

已知极限求参数

这个本质还是求极限吧。

高斯积分

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=2{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

最后

哎，写太多了感觉漫长，我得不到正反馈，就写到这儿，复习策略感觉还是得抓紧时间把全部的内容复习完，进度得迅速推进完成，然后再做一些练习题。