线性代数理论——状态空间

线性代数理论——状态空间

状态：动态系统的状态就是指系统的过去、现在、将来的运动状况，精确的说就是状态需要一组必要而充分的数据来表明。

状态变量：可以表达系统运动状态的变量都是状态变量。

状态变量组：可以完全表征系统在时间域行为的一个最小内部变量组。

eg:

假设X₁(t)、X₂(t)、X₃(t)······X_n(t)是系统的一组状态变量，那么它应该满足一下两个条件：
1、在任何时刻 t=t₀,这组变量的值都表示系统在这一时刻的状态；
2、当系统t>t₀为输入时，状态变量能够根据初始状态确定系统在t₀以后任一时刻的状态。
充分性的体现：也就是在知道t₀时刻后，以后的每一个>t₀时刻的状态都与t₀之前时刻的状态和输入无关

同一个系统选取的状态变量是不唯一的，但是状态变量是独立的，选取的状态变量的个数最少要等于独立储能元的个数即可，这样表现的状态会比较完整

状态向量：如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量x₁(t)、x₂(t)、x₃(t)······x_n(t)作为分量所构成的向量就叫做该系统的状态向量，记作:

（行向量）

或者（列向量）

状态空间：以状态变量X₁(t)、X₂(t)、X₃(t)······X_n(t)为坐标所构成的n维空间就是状态空间。所以状态空间也就是状态向量的集合，维数就是状态的维数。

任何状态都可以用状态空间中的一个点表示。

在一个特定时刻t，状态向量x(t)在状态空间中是一个点，已知初始时刻X₀的x(t₀)，就可以得到状态空间中是一个初始点，随着时间的推移，状态空间中将会描绘出x(t)的运动轨迹，也称之为状态轨线，状态轨线的形状完全由系统在t(0)时刻的初始状态和t>t(0)时刻的输入以及系统的动态特性唯一决定

在状态空间中，可以通过状态轨线反映出各个状态之间的关系。

状态向量的状态空间就把向量的代数结构与几何的概念联系起来了，各个向量之间进行加减乘除的数学计算，就把状态向量之间的关系转化为了构建微分方程组然后求解的问题。

状态方程

状态方程：是描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程组

任意两个状态之间是线性非奇异变换的关系

eg:
电路系统的状态空间描述步骤：

1. 选取状态变量
2. 列出电路原始回路方程
3. 将方程化为规范形
4. 导出状态变量方程和输出变量方程
5. 导出状态方程和输出方程即可得到状态空间描述。

比如单输入单输出系统：

其中，x、A、b分别是

比如多输入多输出的系统：

其中，u、y、B、C、D分别是

由系统的输入输出描述导出状态空间表达式

当高阶微分方程不含作用函数（输入量）导数项时的情况

可以根据系统输入输出关系建立黑箱模型

结论：
当单输入单输出线性时不变系统是：

或者频率域的传递函数为：

此时有如下结论：
状态空间描述按照下面两类情况导出：
重点


或者

对应的一个状态空间描述就是：

当m≠0时，假设输入输出描述为：

其中b_n=0，包括m<n，m=n两种情形，对应的一个状态空间描述为：
重点

其中，

eg :
假设一个系统的微分方程是

求这个系统的状态方程和输出方程
解：
选取状态变量为：

那么就可以得到状态方程组：

写为向量矩阵的形式就是：

或者也可以简写为：

当高阶微分方程包含作用函数（输入量）导数项时的情况

eg :
假设一个三阶系统的微分方程：

选取状态变量也采用上边的方法，就可以得到下面这样的状态方程：

那么有：

输出方程就是：

写成向量矩阵的形式就是：


由此可以扩大到n阶系统就是：

可以得到

那么这种形式的状态空间表达式就是能控标准I型（也称能控标准型，控制器规范型）。

未完待更，别催哦~~ 正在努力加快速度 ：）