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密度泛函理论（DFT）基础介绍
1. DFT基本概念
密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT） 是量子力学中用于研究多电子系统电子结构的计算量子力学方法。它的核心思想是用电子密度而不是波函数来描述系统性质。
2. Hohenberg-Kohn定理
- 第一定理：系统的基态性质由电子密度唯一确定
- 第二定理：存在一个能量泛函，其最小值给出基态能量
3. Kohn-Sham方程
DFT通过Kohn-Sham方程将多电子问题简化为单电子问题：
[ -½∇² + V_eff(r) ] ψ_i(r) = ε_i ψ_i(r)
其中有效势 V_eff(r) = V_ext(r) + V_H(r) + V_xc(r)
4. 交换关联泛函
交换关联泛函 E_xc[ρ] 是DFT中的关键近似，常见的有：
- LDA（局域密度近似）
- GGA（广义梯度近似）
- meta-GGA
- 杂化泛函
机器学习与DFT的结合
1. 为什么需要机器学习+DFT
| 传统DFT | ML-DFT结合 |
|---|---|
| 计算成本高 | 加速计算 |
| 精度与效率权衡 | 提高精度 |
| 泛函选择困难 | 学习最优泛函 |
| 系统规模受限 | 处理更大系统 |
2. 主要应用方向
- 学习交换关联泛函
- 分子动力学加速
- 材料性质预测
- 势能面拟合
代码示例
# 数据准备和特征工程
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.kernel_ridge import KernelRidge
import matplotlib.pyplot as plt
class DFTDataProcessor:
"""DFT数据处理器"""
def __init__(self):
self.scaler_x = StandardScaler()
self.scaler_y = StandardScaler()
def create_synthetic_dft_data(self, n_samples=1000):
"""创建合成的DFT数据"""
# 在实际应用中，这里会从DFT计算中获取真实数据
np.random.seed(42)
# 模拟电子密度特征（简化版）
X = np.random.randn(n_samples, 10) # 10个特征
# 模拟能量值（基于某种函数关系）
y = (X[:, 0] ** 2 + np.sin(X[:, 1]) +
0.5 * X[:, 2] * X[:, 3] +
np.random.normal(0, 0.1, n_samples))
return X, y
def prepare_data(self, X, y):
"""准备训练数据"""
# 标准化特征
X_scaled = self.scaler_x.fit_transform(X)
y_scaled = self.scaler_y.fit_transform(y.reshape(-1, 1)).flatten()
return train_test_split(X_scaled, y_scaled, test_size=0.2, random_state=42)
# 机器学习模型训练
class MLDFTModel:
"""机器学习DFT模型"""
def __init__(self):
self.model = KernelRidge(alpha=1.0, kernel='rbf', gamma=0.1)
self.is_trained = False
def train(self, X_train, y_train):
"""训练模型"""
self.model.fit(X_train, y_train)
self.is_trained = True
print("模型训练完成")
def predict(self, X):
"""预测能量"""
if not self.is_trained:
raise ValueError("模型尚未训练")
return self.model.predict(X)
def evaluate(self, X_test, y_test):
"""评估模型性能"""
predictions = self.predict(X_test)
mae = np.mean(np.abs(predictions - y_test))
rmse = np.sqrt(np.mean((predictions - y_test) ** 2))
r2 = 1 - np.sum((y_test - predictions) ** 2) / np.sum((y_test - np.mean(y_test)) ** 2)
print(f"MAE: {mae:.4f}")
print(f"RMSE: {rmse:.4f}")
print(f"R²: {r2:.4f}")
# MAE: 0.3036
# RMSE: 0.7354
# R²: 0.6763
return mae, rmse, r2
# 使用示例
def basic_ml_dft_demo():
"""基础ML-DFT演示"""
# 创建和处理数据
processor = DFTDataProcessor()
X, y = processor.create_synthetic_dft_data(1000)
X_train, X_test, y_train, y_test = processor.prepare_data(X, y)
# 训练模型
ml_dft = MLDFTModel()
ml_dft.train(X_train, y_train)
# 评估模型
mae, rmse, r2 = ml_dft.evaluate(X_test, y_test)
# 可视化结果
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.subplot(1, 2, 1)
predictions = ml_dft.predict(X_test)
plt.scatter(y_test, predictions, alpha=0.6)
plt.plot([y_test.min(), y_test.max()], [y_test.min(), y_test.max()], 'r--')
plt.xlabel('真实值')
plt.ylabel('预测值')
plt.title('预测 vs 真实')
plt.subplot(1, 2, 2)
errors = predictions - y_test
plt.hist(errors, bins=30, alpha=0.7)
plt.xlabel('预测误差')
plt.ylabel('频次')
plt.title('误差分布')
plt.tight_layout()
plt.show()
if __name__ == "__main__":
basic_ml_dft_demo()
进阶主题和研究方向
1. 深度学习架构
- 图神经网络（GNN）：处理分子结构
- 卷积神经网络：处理电子密度网格
- Transformer：处理序列化特征
2. 数据源
- QM9数据集：小分子量子化学性质
- Materials Project：材料学数据库
- OC20：催化反应数据集
3. 挑战和机遇
- 数据稀缺性：DFT计算成本高
- 可解释性：黑盒模型的理解
- 转移学习：跨系统泛化
- 不确定性量化：预测可靠性评估