TFS-2010《Fuzzy PCA-Guided Robust k-Means Clustering》

2. 核心思想

这篇论文的核心思想是将鲁棒性（robustness）与确定性（determinism）引入到经典的k-means聚类算法中，提出了一种名为“模糊PCA引导的鲁棒k-means”（Fuzzy PCA-Guided Robust k-means, FPR k-means）的新方法。

其核心思路可以分解为以下几点：

1. 利用PCA引导k-means：借鉴了Ding和He的工作，将k-means的聚类指标（cluster indicators）的求解问题，通过一个“无质心”（centroidless）的目标函数，转化为一个类似于主成分分析（PCA）的特征值分解问题。这使得初始聚类划分是确定性的，避免了传统k-means对初始质心敏感的问题。
2. 引入责任权重：认识到传统k-means受噪声影响大，因为它强制所有样本（包括噪声）都必须属于某个簇。为此，论文引入了“责任权重”$u_i$，用于衡量每个样本$i$对整个k-means聚类过程的“责任”或“可信度”。权重小的样本被认为是噪声或离群点。
3. 模糊PCA框架：将责任权重$u_i$融入到PCA引导的过程中。具体来说，在进行特征值分解以求解聚类指标时，使用一个由责任权重加权的散度矩阵$U^{\theta /2}{Y}^{T}Y{U}^{\theta /2}$，而不是原始的$Y^{T}Y$。这相当于在模糊PCA的框架下寻找主成分，使得聚类过程更关注那些“责任大”的核心样本。
4. 迭代优化：整个算法通过一个交替优化过程实现：首先，固定责任权重，用加权的PCA方法求解聚类指标；然后，固定聚类指标，利用噪声聚类（noise clustering）的思想更新每个样本的责任权重。这个过程迭代进行，直到收敛。

总而言之，该方法通过一个确定性的初始化（基于加权PCA）和一个迭代的鲁棒化过程（通过责任权重），实现了对数据集中“簇核心”（cluster cores）的稳定提取。

3. 目标函数

论文的目标函数是传统k-means目标函数的鲁棒化版本，结合了噪声聚类的思想。其最终形式如下：

$$L_{rkm}=\sum _{i=1}^n(1-u_i{)}^{\theta }\gamma +\sum _{k=1}^K\sum _{i\in G_k}{u}_i^{\theta }\Vert x_i-b_k{\Vert }^2$$

其中：

• $L_{rkm}$ 是鲁棒k-means的目标函数。
• $n$ 是样本总数。
• $K$ 是预设的簇数量。
• $u_i\in [0,1]$ 是样本$i$的责任权重（responsibility weight）。它不是传统的隶属度，而是衡量样本对聚类过程的贡献度。
• $\theta$ 是一个加权指数（通常取1.5或2），控制责任权重的“模糊”程度。
• $\gamma$ 是一个惩罚权重，用于调节算法对噪声的敏感度。$\gamma$ 的值通常根据数据动态设定，如论文中采用的 $$\gamma =\beta \frac{{\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\theta }{d}_i}{{\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\theta }}$$，其中$\beta$是一个可调参数，$d_i$是责任判据。
• $b_k$ 是第$k$个簇的质心。
• $G_k$ 是第$k$个簇的样本集合。

这个目标函数包含两部分：

1. 第一项 ${\sum }_{i=1}^n(1-u_i{)}^{\theta }\gamma$ 是对“非责任”样本（即被识别为噪声的样本，$u_i$接近0）的惩罚。$u_i$越小，该项的值越大，因此优化过程会倾向于让真正的噪声样本的$u_i$变小。
2. 第二项是传统的加权k-means误差项，但每个样本的误差都乘以其责任权重的$\theta$次方。这意味着责任权重小的样本对质心$b_k$的计算影响也小。

4. 目标函数的详细优化过程

该目标函数通过交替优化（Alternating Optimization）策略进行求解，分为两个主要步骤循环迭代：

步骤一：固定责任权重 $u_i$，求解聚类指标（Cluster Indicator Estimation）

当责任权重$u_i$固定时，问题转化为如何为样本分配簇。论文将此问题重新表述为一个“无质心”形式，并利用PCA引导的方法求解。

1. 质心更新：首先，根据当前的责任权重和簇分配，更新每个簇的质心$b_k$。根据目标函数对$b_k$求偏导并令其为0，可得：
   $$b_k=\frac{{\sum }_{i\in G_k}{u}_i^{\theta }{x}_i}{{\sum }_{i\in G_k}{u}_i^{\theta }}$$
   这表明质心是簇内样本的加权平均，权重为$u_i^{\theta }$。

2. 无质心目标函数：将上述质心公式代回原目标函数，消去$b_k$，得到仅与责任权重$u_i$和簇分配相关的“无质心”目标函数。

3. PCA引导求解：将“无质心”目标函数的求解，转化为一个最大化问题：
   $$\max \text{Tr}(Q_{K-1}^T{U}^{\theta /2}{Y}^{T}Y{U}^{\theta /2}{Q}_{K-1})$$
   其中：

   • $Y$ 是对数据矩阵$X$进行加权中心化后的矩阵，即$YU=0$，其均值是按$u_i^{\theta }$加权的。
   • $U$ 是一个对角矩阵，其第$i$个对角元素为$u_i$。
   • $Q_{K-1}=(q_1,...,q_{K-1})$ 是变换后的聚类指标向量矩阵。
   • $\text{Tr}(\cdot )$ 表示矩阵的迹。

4. 特征值分解：上述最大化问题的最优解$Q_{K-1}$，由矩阵$U^{\theta /2}{Y}^{T}Y{U}^{\theta /2}$的前$K-1$个最大特征值对应的特征向量构成。这与PCA中取前$K-1$个主成分完全类似，但这里的协方差矩阵被责任权重$U$进行了加权。这一步实现了在考虑样本责任的前提下，以确定性的方式找到最优的（连续松弛的）聚类指标。

步骤二：固定聚类指标，更新责任权重 $u_i$（Responsibility Weight Estimation）

当聚类指标（即$Q_K$或$H_K$）固定时，需要为每个样本$i$更新其责任权重$u_i$。

1. 计算责任判据 $d_i$：定义一个判据$d_i$来衡量样本$i$的“非责任”程度。根据论文推导，该判据为：
   $$d_i=\Vert x_i{\Vert }^2-\sum _{k=1}^K\sum _{j=1}^n{q}_{ki}{q}_{kj}{x}_i^T{x}_j{\left(\frac{u_j}{u_i}\right)}^{\theta /2}$$
   这个公式比较复杂，其核心思想是$d_i$反映了样本$i$在当前聚类结构下的“不适配度”或“离群程度”。

2. 更新责任权重：利用噪声聚类的优化条件，得到更新$u_i$的闭式解：
   $$u_i={\left[1+{\left(\frac{d_i}{\gamma }\right)}^{1/(\theta -1)}\right]}^{-1}$$
   这个公式非常关键。它表明：

   • 如果样本$i$的不适配度$d_i$很高（即它离任何簇中心都很远），那么$u_i$的值就会很小，意味着它被识别为噪声。
   • 如果$d_i$很低（即它是某个簇的核心成员），那么$u_i$的值会接近1。
   • 参数$\gamma$决定了从“核心”到“噪声”的阈值。

这两个步骤（步骤一和步骤二）反复迭代，直到责任权重$u_i$的变化小于一个预设的阈值$ϵ$，算法收敛。

5. 主要贡献点

这篇论文的主要贡献可以总结为以下几点：

1. 提出了FPR k-means新算法：首次将模糊PCA与鲁棒k-means相结合，提出了一种全新的聚类算法。该算法通过责任权重机制，能够有效识别和抑制噪声样本的影响。
2. 实现了确定性的鲁棒聚类：该方法结合了PCA引导的确定性初始化和迭代的鲁棒化过程。这使得算法摆脱了传统k-means和模糊聚类对初始值的敏感性，能够以确定性的方式稳定地提取出簇的核心结构，解决了“初始化问题”。
3. 提供了直观的聚类有效性评估方法：论文将“距离敏感排序”（distance-sensitive ordering）方法进行了改进，使其能够考虑样本的责任权重。通过绘制“簇交叉曲线”（cluster-crossing curve），可以非常直观地可视化聚类结果和簇的数量，便于人工评估聚类的有效性。
4. 引入了核技巧：为了处理非线性簇边界，论文将核方法（kernel trick）应用到FPR k-means中，扩展了该方法的适用范围。
5. 强调了“簇核心”的提取：与旨在对所有样本进行硬划分或模糊划分的传统方法不同，该方法的核心目标是稳健地识别出数据中的“簇核心”，这对于理解数据的主要结构非常有价值。

6. 算法实现过程详解

根据论文第III-C节的“Algorithm”部分，FPR k-means的实现过程如下：

1. 初始化（Step 1）：

   • 将所有样本的责任权重初始化为1，即$u_i=1,\forall i$。这相当于假设所有样本最初都是“完全可信”的，此时算法退化为标准的PCA引导k-means。
   • 选择噪声敏感度参数$\beta$（用于计算$\gamma$）和收敛阈值$ϵ$。

2. 数据中心化（Step 2）：

   • 根据当前的责任权重$u_i$，计算加权均值向量$b=\frac{{\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\theta }{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\theta }}$。
   • 对每个样本进行中心化：$y_i=x_i-b$，得到中心化后的数据矩阵$Y$。这保证了$YU=0$，其中$u=(u_1^{\theta },...,u_n^{\theta }{)}^T$。

3. 求解聚类指标（Step 3）：

   • 构造对角矩阵$U$，其对角线元素为$u_i$。
   • 计算加权的散度矩阵$U^{\theta /2}{Y}^{T}Y{U}^{\theta /2}$。
   • 对该矩阵进行特征值分解，提取前$K-1$个最大特征值对应的特征向量，构成矩阵$Q_{K-1}=(q_1,...,q_{K-1})$。
   • 根据公式(26)计算第$K$个向量$q_K$，并将$Q_{K-1}$和$q_K$合并为$Q_K$。

4. 更新责任权重（Step 4）：

   • 计算$\gamma$：使用公式 $$\gamma =\beta \frac{{\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\theta }{d}_i}{{\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\theta }}$$ 计算惩罚权重$\gamma$。（论文建议只在前几次迭代中更新$\gamma$）
   • 计算判据$d_i$：对于每个样本$i$，使用公式 $$d_i=\Vert x_i{\Vert }^2-\sum _{k=1}^K\sum _{j=1}^n{q}_{ki}{q}_{kj}{x}_i^T{x}_j{\left(\frac{u_j}{u_i}\right)}^{\theta /2}$$ 计算其责任判据$d_i$。
   • 更新$u_i$：使用公式 $$u_i={\left[1+{\left(\frac{d_i}{\gamma }\right)}^{1/(\theta -1)}\right]}^{-1}$$ 更新每个样本的责任权重。

5. 检查收敛（Step 5）：

   • 计算本次迭代更新后的$u_i^{NEW}$与上一次的$u_i^{OLD}$之间的最大变化量${\max }_i|u_i^{NEW}-u_i^{OLD}|$。
   • 如果该变化量小于预设的阈值$ϵ$，则算法收敛，输出连接性矩阵$C=Q_K{Q}_K^T$或考虑了责任权重的概率连接性矩阵$P$。
   • 否则，返回步骤2，用更新后的$u_i$继续下一轮迭代。

算法收敛后，高责任权重$u_i$的样本被认为是簇的核心成员，而低$u_i$的样本则被视为噪声。通过分析最终的连接性矩阵$P$和簇交叉曲线，可以直观地评估聚类结果。