MATLAB的数值计算（一）多项式的描述与运算-EW帮帮网

一、多项式的描述与运算

1.1 多项式的描述

（1）直接输入法

在MATLAB环境下多项式的表达式为

$p(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$

可以转换为向量的形式加以描述，即

$p=[a_{0},a_{1},...,a_{1},a_{n-1},a_{n}]$

例：请在MATLAB中描述多项式 $6x^{3}+5x^{2}+8$ 。

在MATLAB中，此多项式可被描述成如下形式：

p=[6 5 0 8]

缺少的各项系数在向量中用0代替。

（2）特征多项式输入法

特征多项式输入法是MATLAB中通过矩阵生成对应特征多项式的常用方法，其核心原理是利用矩阵的特征值构造多项式。

基本原理：

定义依据：对于n阶方阵A，其特征多项式由行列式运算定义，即：

$p(\lambda )=det(\lambda I-A)$

其中 $\lambda$ 为特征值变量， $I$ 为单位矩阵。

系数生成规则：生成的系数向量为n+1维行向量，对应降幂排列的多项式系数；首项系数必须为1（即 $\lambda ^{n}$ 的系数），后续系数由矩阵特征值的性质决定。

特性说明：

矩阵要求：必须为方阵，否则无法计算特征多项式；奇异矩阵的特征多项式可能包含零根。

数值稳定性：对于高阶矩阵（如n>10），由于数值计算误差，可能出现微小虚部，可通过real（）函数过滤。

特征值与特征向量的定义

假设矩阵A是n阶方阵，如果存在数 $\lambda$ 和给零向量 $X$ ，使得

$AX=\lambda X$

则 $\lambda$ 是矩阵A的一个特征值，X是对应 $\lambda$ 的一个特征向量。

特征向量的核心特点是：

在矩阵A的线性变换下，方向保持不变（或反向），仅被 “伸缩” 了 $\lambda$ 倍。
（注意：特征向量必须是非零向量，因为零向量代入AX = $\lambda$ X时，对任意 $\lambda$ 都成立，无意义。）

特征矩阵

$\lambda E-A$ 为特征矩阵。

E 是n 阶单位矩阵（对角线上全为 1，其余为 0 的方阵）；
$\lambda E$ 是对角矩阵（对角线上全为$\lambda$，其余为 0）。

特征多项式

对特征矩阵取行列式，即计算 $|\lambda E-A|$ ，得到的结果是一个关于 $\lambda$ 的 n 次多项式，称为矩阵A的特征多项式。

核心联系：

要使 $AX=\lambda X$ 有非零解X，等价于齐次线性方程组 $(\lambda E-A)=0$ 有非零解。根据线性代数知识，“齐次方程组有非零解” 的充要条件是系数矩阵的行列式为 0，即： $|\lambda E-A|=0$
这就是特征方程，而特征值 $\lambda$ 正是这个方程的 “根”（解）。

补充：

（1）poly()：

1. MATLAB 中的 poly() 函数

MATLAB 中的 poly() 有两个主要用途：

用途 1：根据 “根” 生成多项式

如果输入是一个向量（表示多项式的根），poly() 会返回该多项式的系数（按降幂排列）。

语法：
p = poly(r)

输入 r：向量，包含多项式的根（如 r = [r1, r2, ..., rn] 表示多项式的根为 r1, r2, ..., rn）。

输出 p：向量，多项式的系数，满足。

示例：
若多项式的根为 1 和 3（即），则：

r = [1, 3];  % 根为1和3
p = poly(r);  % 生成多项式系数

结果 p = [1, -4, 3]，对应多项式（与前面特征多项式的例子一致）。

用途 2：计算矩阵的 “特征多项式”

如果输入是一个方阵，poly() 会返回该矩阵的特征多项式的系数（按降幂排列）。

语法： p = poly(A)

输入 A：n 阶方阵。
输出 p：向量，特征多项式的系数，长度为 n+1。

示例：
对前面的矩阵：

A = [2 1; 1 2];  % 2阶方阵
p = poly(A);      % 计算特征多项式系数

结果 p = [1, -4, 3]，对应特征多项式（与手动计算结果一致）。

2. Python（NumPy）中的 poly() 函数

在 Python 的 numpy 库中，numpy.poly() 功能与 MATLAB 类似，主要用于根据 “根” 生成多项式系数。

语法：
p = numpy.poly(r)

输入 r：数组，多项式的根。
输出 p：数组，多项式系数（按降幂排列）。

示例：

import numpy as np
r = [1, 3]  # 根为1和3
p = np.poly(r)
print(p)  # 输出 [ 1 -4  3 ]，对应 x² - 4x + 3

总结

poly() 函数的核心功能是处理多项式与根的关系：

输入 “根” 时，输出多项式的系数（按降幂排列）；
在 MATLAB 中，输入 “方阵” 时，输出该矩阵的特征多项式系数（这是与线性代数结合的重要应用）。

结合之前的特征值 / 特征多项式知识，poly(A) 是计算矩阵特征多项式的便捷工具，避免了手动展开行列式的繁琐计算。

（2）poly2sym（）

在 MATLAB 中，poly2sym 是一个用于将多项式系数向量转换为符号多项式表达式的函数。它的核心作用是 “可视化” 多项式的数学形式，方便进行符号运算或直观展示多项式。

基本语法

sym_poly = poly2sym(p)       % 基本用法：将系数向量p转换为关于x的符号多项式
sym_poly = poly2sym(p, var)  % 进阶用法：指定变量名（如var='t'，生成关于t的多项式）

输入 p：多项式的系数向量，按降幂排列（即 p(1) 是最高次项系数，p(end) 是常数项）。
输出 sym_poly：符号表达式（需要 syms 符号工具箱支持）。

示例说明

例 1：基本用法（默认变量 x）

假设有一个多项式，其系数向量为 p = [1, -4, 3]（按降幂排列：1 是 $x^{2}$ 的系数，-4 是x的系数，3 是常数项）。

syms x  % 定义符号变量x（需提前声明）
p = [1, -4, 3];  % 多项式x² -4x +3的系数向量
sym_poly = poly2sym(p);  % 转换为符号表达式
disp(sym_poly);  % 输出：x^2 - 4*x + 3

例 2：指定变量名（如 t）

如果需要生成以 t 为变量的多项式，可以指定第二个参数：

syms t  % 定义符号变量t
p = [2, 0, -3, 5];  % 系数向量对应2t³ + 0t² -3t +5
sym_poly = poly2sym(p, t);  % 转换为关于t的多项式
disp(sym_poly);  % 输出：2*t^3 - 3*t + 5

例 3：与poly函数配合使用

结合之前提到的 poly 函数（生成多项式系数），可以快速将矩阵的特征多项式转换为符号形式：

syms lambda  % 定义符号变量lambda（常用于特征多项式）
A = [2 1; 1 2];  % 2阶矩阵
p = poly(A);  % 用poly计算A的特征多项式系数，结果为[1, -4, 3]
char_poly = poly2sym(p, lambda);  % 转换为关于lambda的符号表达式
disp(char_poly);  % 输出：lambda^2 - 4*lambda + 3

核心作用

poly2sym 的价值在于将 “抽象的系数向量” 转换为 “直观的数学表达式”，尤其适合：

展示多项式的结构（如教学、报告中）；
结合符号工具箱进行多项式的求导、积分、因式分解等符号运算（例如 factor(char_poly) 可直接分解特征多项式）。

使用前需确保已通过 syms 定义对应的符号变量，否则可能无法正确生成表达式。

例：已知矩阵M=[2 1 6 ;1 8 9 ;2 4 7 ],求其特征多项式的表达式。

其中，x对应为 $\lambda$ 。

3.由根向量创建多项式

例：已知矩阵a=[4 -3-5i -3+5i],求其对应的多项式表达式。

1.2 多项式的运算

多项式的运算命令如下表：

命令	功能
polyval（p，x）	求多项式在x点的取值
polyvalm（p，A）	A矩阵在多项式中的取值
roots（p）	求多项式的根
polyder	微分
p1+p2，p1-p2	加、减法（项数必须一致）
conv	乘法
deconv	除法
polyint	积分