什么是背包问题？
背包问题(Knapsack Problem)是计算机科学和运筹学中的一个经典组合优化问题。给定一组物品，每个物品都有其特定的体积(或重量)和价值，在不超过背包总容量的情况下，如何选择物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大化。（在学习背包问题之前，笔者建议先阅读笔者写于之前的动态规划入门：从记忆化搜索到动态规划以便更容易理解背包问题）
背包问题的多种变体：
01背包问题：每种物品只能选或不选（0次或者1次）
完全背包问题：每种物品可以选择无数次
多重背包问题：每种物品有数量限制
分组背包问题：物品被分成若干组，每组只能选一个物品
混合背包：以上四种背包问题混在一起
多维费用的背包问题：限制条件不只有体积，还会有其他因素（比如重量）
下面我将借助一些例题带读者深入理解各种背包问题：
01背包：
题目描述：有一个容量为 V 的背包和 N 件物品，每件物品有一个体积 v[i] 和一个价值 w[i]。要求从这 N 件物品中选择若干件放入背包，使得背包中物品的总体积不超过 V，且总价值最大。每件物品只能选择一次（即不能重复选择）。
看到这个问题，相信很多同学第一反应是利用贪心策略，但贪心有三种不同的情况，分别是：
- 尽可能选价值较大的物品
- 尽可能选提交较小的物品
- 尽可能选 w/v（价值 / 体积）较大的物品
但这三种策略都是可以证明为否的，且很容易举出反例，因此贪心策略不可行。
这时我们就可以考虑利用动态规划来解决这个问题，背包问题究其本质也是动态规划的一种，因此，我们可以用动态规划同款的方式来解决问题：
在体积不超过 j 的情况下，从[1, i]区间挑选物品，我们可以选择是否选择第 i 号物品，如果不选择，那么它的结果与从[1, i - 1]区间挑选物品结果一致，即f[i][j] = f[i - 1][j]，如果选择第 i 个元素，那么之前位置所选的物品体积总合不能超过 j - v[i]，即，f[i][j] = w[i] + f[i-1][j - v[i]]。
算法原理：
- 状态表示：f[i][j]表示：在 [1,i] 区间挑选物品，总体积不能超过 j，所有选法下，最大的价值
- 状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i-1][j - v[i]] + w[i])（如果j-v[i] >= 0） - 初始化：将第一行全部初始化为0
- 填表顺序：从上往下每一行
- 最终结果：f[n][v]
代码实现：
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v[i])
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
空间优化：可以将 f 数组从二维降为一维。由于每次更新时都是顺序处理，且使用过的旧值不会被重复利用，因此可以不断覆盖原数组，仅保留一维数组来记录最终结果。可以将 f 数组从二维降为一维。由于每次更新时都是从右往左顺序处理，且使用过的旧值不会被重复利用，因此可以不断覆盖原数组，仅保留一维数组来记录最终结果。
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= v[i]; j--)//修改遍历顺序
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
感觉看明白了的可以移步洛谷P1048采药自行检测。
完全背包：
题目描述：给定一个容量为 V 的背包和 N 种物品，每种物品有无限个可用。第 i 种物品的体积为 v[i]，价值为 w[i]。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出这个最大总价值。
同样的，贪心策略同样易证为伪，这里便不再赘述，此时，其他量皆与01背包相同，所以这里主要推导状态转移方程。
在总体积不超过 j 的情况下，从[1, i]区间挑选物品，我们可以选择是否选择第 i 号物品，以及选择几个 i 号物品，当不选择第 i 号物品时 f[i][j] = f[i - 1][j]，与前 i - 1 号保持一致。当我们选择一个时 f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]，选择两个时 f[i][j] = f[i-1][j-2 * v[i]] + 2 * w[i]，…，依次类推，选择 k 个时 f[i][j] = f[i-1][j-k * v[i]] + k * w[i]。所以，f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i],......,f[i-1][j-k * v[i]] + k * w[i])。但是这样，我们依然不能很直观的看出状态转移方程是什么样子的，那我们在往下看一层，即 f[i][j-v[i]] = max(f[i-1][j-v[i]], f[i-1][j-2 * v[i]] + w[i],......,f[i-1][j-k * v[i]] + (k-1) * w[i])。这时我们可以发现，f[i][j-v[i]]中每一个元素加上 w[i] 就可以和 f[i][j] 中的元素对应上，因此，f[i][j] 中除了 f[i-1][j] 意外所有元素取max即为 f[i][j-v[i]] + w[i]。所以，我们可以明确推导出f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i])。（这种技巧不一定所有的方式都适用，但当看见元素样子差不多时可以尝试这样的方式）
算法原理：
- 状态表示：f[i][j]表示：从[1,i]区间中挑选，总体积不超过j的情况下，所有选法下，最大价值
- 状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]) - 初始化：f[0][i] = 0
- 填表顺序：从上往下，每一行从左往右
- 最终结果：f[n][v]
代码实现：
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j > v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
空间优化：
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
感觉看明白了的可以移步洛谷P1616疯狂的采药自行检测。
空间优化小结：
在空间优化下
01背包：第二层 for 循环改为从大到小 从右到左
完全背包：第二层for循环依然为从小到大 从左往右
多重背包：
题目描述：有 N 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品最多有 x[i] 件可用，每件体积是 v，价值是 w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
由于多重背包的状态转移方程分析部分与完全背包完全相同，因此在这里便不过多赘述。即f[i][j-v[i]] = max(f[i-1][j-v[i]], f[i-1][j-2 * v[i]] + w[i],......,f[i-1][j-k * v[i]] + (k-1) * w[i])。由于每种物品的可用件数不一致，因此不能像我完全背包一样做优化，直接用一个状态来表示若干内容，需要一次一次挨个比对。
算法原理：
- 状态表示：f[i][j]表示：从[1,i]区间中挑选，总体积不超过j的情况下，所有选法下，最大价值
- 状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]) - 初始化：f[0][i] = 0
- 填表顺序：从上往下，每一行从左往右
- 最终结果：f[n][v]
代码实现：
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> x[i] >> w[i] >> v[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= 0; j--)
for (int k = 0; k <= x[i] && k * w[i] <= j; k++)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * w[i]] + k * v[i]);
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
分组背包
题目描述：有 N 组物品和一个容量为 V 的背包。每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。每件物品的体积是 v，价值是 w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
算法原理：
- 状态表示：f[i][j]表示：从前i个小组中挑选，总重量不超过j的情况下，最大价值
- 状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - v[k]] + w[k])，其中 k 是第 i 组中的物品。 - 初始化：全部为0
- 填表顺序：从上往下 每一行从左往右
- 结果：f[n][v]
代码实现
int main() {
int n, V;
cin >> n >> V;
vector<vector<pair<int, int>>> groups(n + 1); // 每组物品的v和w
vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(V + 1, 0));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int s;
cin >> s; // 第i组的物品数量
while (s--) {
int v, w;
cin >> v >> w;
groups[i].push_back({v, w});
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = V; j >= 0; j--) {
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选第i组的任何物品
for (auto item : groups[i]) {
if (j >= item.first) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - item.first] + item.second);
}
}
}
}
cout << f[n][V] << endl;
return 0;
}