通俗的讲解调制与解调

记得当时在学习齿轮的故障诊断时，文献中提及转频被啮合频率调制；在学习轴承的故障诊断时，常用的找到故障频率的方法是共振解调。什么是调制？怎么解调？调制与解调的原理到底是什么？对于这个问题，网上搜不到多少有用信息，很多回答者自己也是不求甚解，在进行系统地学习之后，我决定从原理上、从新手入门的角度来解释一下通信中的调制与解调。

1. 预备知识

若要完全了解调制与解调的来龙去脉，必须要先知道傅里叶变换，傅里叶变换对于信号处理的重要性来说，就像是易筋经对于一个人练习武学的重要性，学习傅里叶变换的推导过程就像是在练内功，内功不深厚，去练习更高级的招式，最后容易走火入魔。如果不知道傅里叶变换的推导过程的话，建议在学习本文之前先掌握以下4篇（按顺序慢慢看，一定看得懂）：

• 1.不用傅里叶变换，提取某一频率的幅值和相位
• 2. 信号的正交分解和广义傅里叶级数
• 3. 傅里叶变换那点事
• 4. 真正掌握傅里叶变换

在第3篇文章中，推导出了傅里叶变换的公式为：
$$F(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$
以及傅里叶逆变换的公式为：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(j\omega ){\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$$
我们将 $f(t)$ 与 $F(j\omega )$ 称为一对傅里叶变换，可以用符号表示为：
$$f(t)⟷F(j\omega )$$

2. 傅里叶变换的频移特性

傅里叶变换的频移特性是通信理论中信号调制与解调的理论基础，该性质描述如下：

若 $f(t)⟷F(j\omega )$ , 则 $e^{\mp j{\omega }_{0}t}f(t)\leftrightarrow F\left[j\left(\omega \pm {\omega }_0\right)\right]$ , ${\omega }_0$ 为实常数.

其证明如下：
$$\begin{array}{rl}& F\left[e^{\mp j{\omega }_{0}t}f(t)\right]\\ =& {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{\mp j{\omega }_{0}t}f(t){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-j\left(\omega \pm {\omega }_0\right)t}\mathrm{d}t\\ =& F\left[j\left(\omega \pm {\omega }_0\right)\right]\end{array}$$
可见，频移特性的本质是频谱搬移。那么频谱搬移有什么作用呢？

比如人说话的频率是0到数十kHz，在打电话时，如果不把语音信号的频谱搬移到较高的频带范围内进行传输，信号的衰减会很大，传输距离会变短。

3. 什么是调制

下面通过几个计算题来逐渐说明什么是调制：

题目1：若 $f(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ ，则其傅里叶变换$F(j\omega )$为多少？画出频谱图

由第3篇文章可知：
$$1⟷2\pi \delta (\omega )$$
根据频移特性有：
$$e^{j{\omega }_{0}t}⟷2\pi \delta \left(\omega -{\omega }_0\right)$$
频谱图如下：

题目2：若 $f(t)=\cos {\omega }_{0}t$ ，则其傅里叶变换$F(j\omega )$为多少？画出频谱图.

根据欧拉公式，有：
$$\cos \left({\omega }_{0}t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-j{\omega }_{0}t}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{j{\omega }_{0}t}$$
根据傅里叶变换的线性性质，有
$$F(\mathrm{j}\omega )=\pi [\delta \left(\omega +{\omega }_0\right)+\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)]$$
画出其频谱图如下：

思考：若已知 $f(t)$ 的频谱图 ，如何画$f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 频谱图.

如果 $f(t)$ 的傅里叶变换为$F(j\omega )$ ，那么根据傅里叶变换的频移特性， $f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 的傅里叶变换为：
$$\begin{array}{rl}f(t)\cos \left({\omega }_{0}t\right)& =f(t)\left[\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{j{\omega }_{0}t}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-j{\omega }_{0}t}\right]\\ & \leftrightarrow \frac{1}{2}F\left[j\left(\omega -{\omega }_0\right)\right]+\frac{1}{2}F\left[j\left(\omega +{\omega }_0\right)\right]\end{array}$$
假设 $f(t)$ 的频谱图如下左图所示，且其频带宽度小于 ${\omega }_0$ ，则$\cos {\omega }_{0}t$ 、$f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 的频谱图大致如下中图和下右图所示：

一般，$f(t)$ 是我们需要传递的信息波（即调制信号），为了更好地进行传输，我们可以将 $f(t)$ 乘以一个余弦信号 $\cos {\omega }_{0}t$ (一般${\omega }_0$很大)，把信息波搬移到以 ${\omega }_0$ 为中心的频段范围内。这个被乘的 $\cos {\omega }_{0}t$ 称为载波信号 ，可以理解成它负责搬运哈哈。而他们的乘积 $f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 被称为已调信号。注意，有时候也会把已调信号笼统的说是调制信号。

4. 如何解调

假如我们按照上面的操作，已经把需要的信号所有频率成分搬移到了很高的频段上，也完成了信号的传输。那么在信号进行传输后的接收端，需要把调制信号从已调信号中再恢复出来，这个过程就叫做解调（个人理解，不是严格的定义）。突然感觉这个过程很像电能输送啊：低压电->变压器->高压电->漫长的传输->变压器->低压电，真奇妙。

在接收端我们得到的是已调信号 $f(t)\cos {\omega }_{0}t$ ，此时如果再将 $f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 乘以一个余弦信号 $\cos {\omega }_{0}t$ ,即可以将 $f(t)$ 解调出来：

再次相乘使得，可以看做先将 $f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 的负半轴一分为二，被分后的任一部分幅度降低一半：

再将 $f(t)\cos {\omega }_{0}t$ 的正半轴也一分为二，幅度变化同上：

而两者之和即为相乘后的频谱，即 $f(t)\cdot \cos {\omega }_{0}t\cdot \cos {\omega }_{0}t$ 的频谱：

这样我们再对其进行低通滤波和幅度补偿，就可以得到原来的信号$f(t)$啦！

5.其他说明

本文主要目的是对调制和解调的原理进行解释，选择了最简单的调幅（因为信息波 $f(t)$ 是随着 $\cos {\omega }_{0}t$ 的幅度变化而变化的 ）来进行说明。尽管所介绍的方法原理简单，但实现很困难。因为上述解调方法是同步解调法，意味着不仅要在发送端产生一个 $\cos {\omega }_{0}t$ ，在接收端同样需要产生一个频率和相位都一致的 $\cos {\omega }_{0}t$ ，这是不那么容易实现的。

注：如果对公式理解还不是那么透彻的话，我觉得还可以这么理解调制与解调：直接看三角函数的积化和差公式。