连续时间与Balck-Scholes公式（下） – 潘登同学的Quant笔记
Black-Scholes公式的鞅方法推导
股票及债权价格的偏微分方程
{ d S t = μ S t d t + σ S t d Z t d B t = r B t d t \begin{cases} dS_t = \mu S_tdt+\sigma S_t dZ_t \\ dB_t = rB_tdt \end{cases} {dSt=μStdt+σStdZtdBt=rBtdt
股票价格
d ( log S t ) = 1 S t d S t − 1 2 1 S t 2 ( d S t ) 2 ( T a y l o r ) = μ d t + σ d Z t − 1 2 1 S t 2 ( μ S t d t + σ S t d Z t ) 2 = μ d t + σ d Z t − 1 2 σ 2 d t = ( μ − 1 2 σ 2 ) d t + σ d Z t 左右两边积分 ⇒ ∫ 0 T d ( log S t ) = ∫ 0 T ( μ − 1 2 σ 2 ) d t + σ ∫ 0 T d Z t ⇒ log S T − log S 0 = ( μ − 1 2 σ 2 ) T + σ ∫ 0 T d Z t ( 随机积分 ) ⇒ S T = S 0 e x p [ ( μ − 1 2 σ 2 ) T + σ ∫ 0 T d Z t ] \begin{aligned} d(\log S_t) &= \frac{1}{S_t} dS_t - \frac{1}{2}\frac{1}{S_t^2}(dS_t)^2 \quad (Taylor)\\ &=\mu dt+\sigma dZ_t - \frac{1}{2}\frac{1}{S_t^2}(\mu S_tdt+\sigma S_t dZ_t)^2 \\ &=\mu dt+\sigma dZ_t - \frac{1}{2}\sigma^2dt\\ &=(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dZ_t \\ 左右两边积分& \\ \Rightarrow \int_{0}^T d(\log S_t) &= \int_{0}^T(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma \int_{0}^T dZ_t \\ \Rightarrow \log S_T-\log S_0 &= (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \int_{0}^T dZ_t \quad (随机积分) \\ \Rightarrow S_T &= S_0 \ exp[(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \int_{0}^T dZ_t ] \end{aligned} d(logSt)左右两边积分⇒∫0Td(logSt)⇒logST−logS0⇒ST=St1dSt−21St21(dSt)2(Taylor)=μdt+σdZt−21St21(μStdt+σStdZt)2=μdt+σdZt−21σ2dt=(μ−21σ2)dt+σdZt=∫0T(μ−21σ2)dt+σ∫0TdZt=(μ−21σ2)T+σ∫0TdZt(随机积分)=S0 exp[(μ−21σ2)T+σ∫0TdZt]
因为 ( μ − 1 2 σ 2 ) T + σ ∫ 0 T d Z t ∼ Φ ( ( μ − 1 2 σ 2 ) T , σ 2 T ) (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \int_{0}^T dZ_t\sim \Phi((\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T,\sigma^2T) (μ−21σ2)T+σ∫0TdZt∼Φ((μ−21σ2)T,σ2T),而前面计算对数正态的期望，有
log X ∼ Φ ( μ , σ 2 ) ⇒ E ( e x ) = e μ + 1 2 σ 2 E ( S T ) = S 0 e μ T \log X \sim \Phi(\mu,\sigma^2) \Rightarrow E(e^x) = e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2} \\ E(S_T) = S_0 e^{\mu T} logX∼Φ(μ,σ2)⇒E(ex)=eμ+21σ2E(ST)=S0eμT
显然，这里的股票价格并不符合鞅性，即 E ( S T ) ≠ S 0 e r T E(S_T)≠S_0e^{rT} E(ST)=S0erT。这是在真实世界的概率测度下求取的期望，自然不存在鞅性的结论。不过我们知道，当市场中不存在套利机会时，一定存在一个等价鞅测度，股票价格在这个测度下符合鞅性。也就是说，
N o A r b i t r a g e ⇒ ∃ ! E M M E ~ ( S T ) = S 0 e r T No \ Arbitrage \Rightarrow \exist \ ! \ EMM \\ \tilde{E}(S_T) = S_0 e^{rT} No Arbitrage⇒∃ ! EMME~(ST)=S0erT
这里我们在期望符号上加上了一个波浪号，以表示这是在等价鞅测度下求取的期望。基于前面对 S T S_T ST的推导，我们可以知道在等价鞅测度下，股价 S T S_T ST 应该满足
S T = S 0 e x p [ ( r − 1 2 σ 2 ) T + σ ∫ 0 T d Z t ~ ] ⇒ log S T ∼ Φ ( log S 0 + ( r − 1 2 σ 2 ) T , σ 2 T ) 设 log S T = a + b u , u ∼ Φ ( 0 , 1 ) ⇒ { a = log S 0 + ( r − 1 2 σ 2 ) T b = σ T ⇒ e a + 1 2 b 2 = S 0 e r T ( 后面要用 ) S_T = S_0 \ exp[(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \int_{0}^T \tilde{dZ_t}] \\ \Rightarrow \log S_T \sim \Phi (\log S_0+(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T,\sigma^2T) \\ 设\log S_T = a + bu , u\sim \Phi(0,1) \Rightarrow \begin{cases} a = \log S_0+(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T \\ b = \sigma\sqrt{T} \\ \end{cases} \\ \Rightarrow e^{a + \frac{1}{2}b^2} = S_0 e^{rT} \quad (后面要用) ST=S0 exp[(r−21σ2)T+σ∫0TdZt~]⇒logST∼Φ(logS0+(r−21σ2)T,σ2T)设logST=a+bu,u∼Φ(0,1)⇒{a=logS0+(r−21σ2)Tb=σT⇒ea+21b2=S0erT(后面要用)
这里我们在 d Z t dZ_t dZt 头上加上了波浪符号，以表示它是等价鞅测度下的布朗运动。之所以可以这么做，是基于格萨诺夫（Girsanov）定理，这个定理告诉我们，当我们在做概率测度变换的时候（比如从真实世界概率换到风险中性概率），资产价格收益率的均值一般会发生变化，但其波动率却不变。
接下来，在等价鞅测度下，这个期权 0 时刻的价格表示为
C 0 = e − r T E ~ [ max { S T − K , 0 } ] C_0 = e^{-rT}\tilde{E}[\max \{S_T-K,0\}] C0=e−rTE~[max{ST−K,0}]
计算行权阈值 U U U：
S T = e a + b U = K ⇒ U = log K − log S 0 − ( r − 1 2 σ 2 ) T σ T S_T = e^{a + bU} = K \Rightarrow U = \frac{\log K - \log S_0-(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} ST=ea+bU=K⇒U=σTlogK−logS0−(r−21σ2)T
接着计算期权的期望：
E ~ [ max { S T − K , 0 } ] = ∫ U + ∞ ( e a + b u − K ) 1 2 π e − 1 2 u 2 d u = ∫ U + ∞ 1 2 π e a + b u − 1 2 u 2 d u − K ∫ U + ∞ 1 2 π e − 1 2 u 2 d u = ∫ U + ∞ 1 2 π e − 1 2 ( u − b ) 2 + a + 1 2 b 2 d u − K [ 1 − N ( U ) ] = e a + 1 2 b 2 ∫ U − b + ∞ 1 2 π e − 1 2 ( u − b ) 2 d ( u − b ) − K [ 1 − N ( U ) ] = e a + 1 2 b 2 [ 1 − N ( U − b ) ] − K [ 1 − N ( U ) ] = S 0 e r T N ( b − U ) − K N ( − U ) \begin{aligned} \tilde{E}[\max \{S_T-K,0\}] &= \int_{U}^{+\infty} (e^{a + bu}-K)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2}du \\ &= \int_{U}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{a + bu-\frac{1}{2}u^2}du - K\int_{U}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2}du \\ &= \int_{U}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(u-b)^2 + a + \frac{1}{2}b^2}du - K[1-N(U)] \\ &= e^{a + \frac{1}{2}b^2}\int_{U-b}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(u-b)^2}d(u-b) - K[1-N(U)] \\ &= e^{a + \frac{1}{2}b^2}[1-N(U-b)] - K[1-N(U)] \\ &= S_0 e^{rT}N(b-U) - KN(-U) \\ \end{aligned} E~[max{ST−K,0}]=∫U+∞(ea+bu−K)2π1e−21u2du=∫U+∞2π1ea+bu−21u2du−K∫U+∞2π1e−21u2du=∫U+∞2π1e−21(u−b)2+a+21b2du−K[1−N(U)]=ea+21b2∫U−b+∞2π1e−21(u−b)2d(u−b)−K[1−N(U)]=ea+21b2[1−N(U−b)]−K[1−N(U)]=S0erTN(b−U)−KN(−U)
接着定义
d 1 ≜ b − U = log S 0 K + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ T d 2 ≜ − U = log S 0 K + ( r − 1 2 σ 2 ) T σ T d_1 \triangleq b - U = \frac{\log \frac{S_0}{K} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \\ d_2 \triangleq - U = \frac{\log \frac{S_0}{K} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \\ d1≜b−U=σTlogKS0+(r+21σ2)Td2≜−U=σTlogKS0+(r−21σ2)T
则有
C 0 = e − r T ( S 0 e r T N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) ) = S 0 N ( d 1 ) − e − r T K N ( d 2 ) C_0 = e^{-rT}(S_0 e^{rT}N(d_1) - KN(d_2)) = S_0 N(d_1) - e^{-rT}KN(d_2) C0=e−rT(S0erTN(d1)−KN(d2))=S0N(d1)−e−rTKN(d2)
Black-Scholes公式的多期二叉树方法推导
当我们把二叉树的期数取得越来越大的时候（相应的，每期时间变得越来越短的时候），股价的变化就越来越像在做连续变化。多期二叉树的定价方式直接写出
C 0 = e − r T [ ∑ j = 0 n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) max ( u j d n − j S 0 − K , 0 ) ] C_0 = e^{-rT}[\sum_{j=0}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)}\max(u^jd^{n-j}S_0-K,0)] C0=e−rT[j=0∑nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)max(ujdn−jS0−K,0)]
下面，假设 j ∗ j^* j∗是使得 u j d n − j S 0 > K u^jd^{n-j}S_0>K ujdn−jS0>K 成立的最小 j j j。如果股价向上的步数小于 j ∗ j^* j∗，则 T 时刻的股价将小于 K K K，对应的买入期权的价值为 0。
C 0 = e − r T [ ∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) ( u j d n − j S 0 − K ) ] = e − r T [ ∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) u j d n − j S 0 ] − K e − r T [ ∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) ] \begin{aligned} C_0 &= e^{-rT}[\sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)}(u^jd^{n-j}S_0-K)]\\ &= e^{-rT}[\sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)}u^jd^{n-j}S_0] - Ke^{-rT}[\sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)}] \\ \end{aligned} C0=e−rT[j=j∗∑nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)(ujdn−jS0−K)]=e−rT[j=j∗∑nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)ujdn−jS0]−Ke−rT[j=j∗∑nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)]
上式中的 ∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) u j d n − j S 0 \sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)}u^jd^{n-j}S_0 ∑j=j∗nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)ujdn−jS0是在风险中性概率下，某个随机变量的数学期望。这个随机变量在 S T > K S_T>K ST>K 的时候等于 ST，其他情况下等于 0。上式中的 ∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) \sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)} ∑j=j∗nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)代表在风险中性概率下，股价达到 K K K 的概率，也就是买入期权会被执行的概率。
注意到上式后面一项 n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) \frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)} j!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)是二项分布的概率密度函数，当 n → ∞ n\to \infty n→∞时，二项分布近似服从正态分布
N 1 ( n p , n p ( 1 − p ) ) ∴ ∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) = 1 − N 1 ( j ∗ ) N_1(np,np(1-p)) \\ \therefore \sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)} = 1 - N_1(j^*) N1(np,np(1−p))∴j=j∗∑nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)=1−N1(j∗)
但是由于 N 1 N_1 N1不是标准正态分布，只需将 − j ∗ -j^* −j∗做标准化即可；
1 − N 1 ( j ∗ ) = 1 − N ( j ∗ − n p n p ( 1 − p ) ) = N ( n p − j ∗ n p ( 1 − p ) ) 1 - N_1(j^*) = 1 - N(\frac{j^*-np}{\sqrt{np(1-p)}}) = N(\frac{np - j^*}{\sqrt{np(1-p)}}) 1−N1(j∗)=1−N(np(1−p)j∗−np)=N(np(1−p)np−j∗)
接下来就需要计算 j ∗ j^* j∗与 p p p
u j ∗ d n − j ∗ S 0 ≥ K , u = e σ △ t , d = e − σ △ t , △ t = T n ⇒ j ∗ ≥ n 2 − log S 0 K 2 σ T / n p = e r △ t − e − σ △ t e σ △ t − e − σ △ t lim △ t → 0 p = 1 2 u^{j^*}d^{n-j^*}S_0 \geq K, u = e^{\sigma \sqrt{\triangle t}},d = e^{-\sigma \sqrt{\triangle t}},\triangle t = \frac{T}{n}\\ \Rightarrow j^* \geq \frac{n}{2} - \frac{\log{S_0}{K}}{2\sigma \sqrt{T/n}} \\ p = \frac{e^{r\triangle t} - e^{-\sigma\sqrt{\triangle t}}}{e^{\sigma\sqrt{\triangle t}} - e^{-\sigma\sqrt{\triangle t}}} \\ \lim_{\triangle t \to 0}p = \frac{1}{2} \\ uj∗dn−j∗S0≥K,u=eσ△t,d=e−σ△t,△t=nT⇒j∗≥2n−2σT/nlogS0Kp=eσ△t−e−σ△ter△t−e−σ△t△t→0limp=21
所以得到
N ( n p − j ∗ n p ( 1 − p ) ) = N ( log S 0 K + ( r − 1 2 σ 2 ) T σ T ) N(\frac{np - j^*}{\sqrt{np(1-p)}}) = N(\frac{\log \frac{S_0}{K} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}) N(np(1−p)np−j∗)=N(σTlogKS0+(r−21σ2)T)
而前面一项的处理很类似，关键要重新构造概率,定义 p ∗ p^* p∗
p ∗ = p u p u + ( 1 − p ) d 1 − p ∗ = ( 1 − p ) d p u + ( 1 − p ) d p^* = \frac{pu}{pu+(1-p)d} \\ 1-p^* = \frac{(1-p)d}{pu+(1-p)d} \\ p∗=pu+(1−p)dpu1−p∗=pu+(1−p)d(1−p)d
则可将原式子化为
∑ j = j ∗ n n ! j ! ( n − j ) ! q j ( 1 − q ) ( n − j ) u j d n − j S 0 = [ p u + ( 1 − p ) d ] n ∑ j = j ∗ n ( p ∗ ) j ( 1 − p ∗ ) n − j \sum_{j=j^*}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}q^j(1-q)^{(n-j)}u^jd^{n-j}S_0 = [pu+(1-p)d]^n\sum_{j=j^*}^n(p^*)^j(1-p^*)^{n-j} j=j∗∑nj!(n−j)!n!qj(1−q)(n−j)ujdn−jS0=[pu+(1−p)d]nj=j∗∑n(p∗)j(1−p∗)n−j
已知 p p p 是风险中性概率, 那么可将 [ p u + ( 1 − p ) d ] n [pu+(1-p)d]^n [pu+(1−p)d]n看成是涨幅的期望值, 由无套利定价可得:
[ p u + ( 1 − p ) d ] n = e r T [pu+(1-p)d]^n = e^{rT} [pu+(1−p)d]n=erT
接下来，再利用二项式趋于正态分布，标准化 j ∗ j^* j∗,代入 j ∗ , p ∗ j^*,p^* j∗,p∗，可以得到
e r T ( log S 0 K + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ T ) e^{rT}(\frac{\log \frac{S_0}{K} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}) erT(σTlogKS0+(r+21σ2)T)
所以汇总一下两个式子，得到
C 0 = S 0 N ( d 1 ) − e − r T K N ( d 2 ) d 1 = log S 0 K + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ T d 2 = log S 0 K + ( r − 1 2 σ 2 ) T σ T C_0 = S_0 N(d_1) - e^{-rT}KN(d_2) \\ d_1 = \frac{\log \frac{S_0}{K} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \\ d_2 = \frac{\log \frac{S_0}{K} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \\ C0=S0N(d1)−e−rTKN(d2)d1=σTlogKS0+(r+21σ2)Td2=σTlogKS0+(r−21σ2)T