线性代数中的投影

        之前看过Gilbert strang老爷爷的线性代数视频时，令我印象最深的就是，他讲的投影这堂课。倒不是本身这堂课的内容有多么的吸引我，反倒是他在这堂课中所说的第一句话，时至今日都另外印象深刻，也一直激励着我，一定要把线性代数中的投影学好。

他的原话是：“我要让这堂课不朽（immortal）”

        当时，我看了以后，感觉整个人都被震住了。细细想来，一个老师，居然在他的课上，一开始就说，要让他的这堂客不朽。这得需要何等的自信，这得多么热爱自己所教的这门课啊。从哪以后，虽然我也已经开始慢慢学习线性代数了，但是，唯独在学习投影这门课的时候，我会被加努力和留心，心想投影这个概念，在线性代数中一定非常非常重要，否则，也不会成为一门被Gilbert strang称之为不朽的课程。

        言归正传，我自认为在学习投影的时候，花了很多时间和精力，也走了很多弯路。现在我就把我对投影的理解梳理出来，分享给有需要的人，同时，更是对我自己学习的一个总结和梳理。（---松下J27）

投影即分量

        在线性代数的学习中，对投影而言，有两个非常重要概念，或者说我们一直在试图回答两个问题：（以二维空间为例）

1，对于一个任意向量b而言，他在另一个向量上的投影是什么？尤其是，他在x-y轴上的投影是什么？

这个问题的答案就是要找到投影向量p(小写的p),放在投影的第一篇文章中讲。

2，有没有一个对应的矩阵P，他能够把任何向量投影到，对应的向量上去？例如，矩阵P可以把所有向量都投影到x轴上去？

而这个问题的答案，是要找到一种线性变换或者说是投影矩阵P(大写的P),他可以把任何矩阵都投影到与之对应的向量上去。

        现在，我们暂时先把目光聚焦在寻找投影向量p上：也就是在二维空间中，如何求出一个向量在另一个向量上的投影？

要想回答这个问题，我们又有两个途径：

1，利用直角三角形中的余弦定理。

2，利用正交向量的内积为0，也就是根据投影向量p与垂线e相互垂直。

余弦定理法：

        我们先看一下，三角函数在线性代数中是如何表示的。这是用向量的长度来表示直角三角形中的边长。

 这是用向量的长度与向量的内积的定义来表示夹角的余弦：

上图中的P有误: 

重要的事情说三遍：

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