【Python】基于欧拉角的刚体转动仿真演示

先画个立方体

工欲善其事、必先利其器，在开始学习欧拉角模拟之前，可先绘制一个立方体。

在matplotlib中，这个任务可通过plt.voxels实现，下面先绘制一个最质朴的立方体

代码为

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
filled = np.ones((1,1,1))
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.voxels(x,y,z, filled=filled)
plt.show()

其中，x,y,z表示顶点，filled表示被填充的区域。由于其顶点数量为$2\times 2\times 2$，故只有一个立方体，从而filled是一个$1\times 1\times 1$的张量。

有了立方体之后，就可以进行欧拉角仿真了。

欧拉角和旋转矩阵

为了尽快进入演示部分，故对原理的介绍从略，仅从二维平面上的旋转矩阵出发，做一个简单的推导，而三维旋转矩阵，至少在形式上与二维是雷同的。

假设坐标系中有一个向量$(x,y)$，其模长为$r=\sqrt{x^2+y^2}$，角度为${\theta }_0=\arctan \frac{y}{x}$。若将其围绕坐标原点逆时针旋转$\theta$，则其坐标变为

$$\begin{gathered} x^{\prime }=r\cos ({\theta }_0+\theta )=r\cos {\theta }_0\cos \theta -r\sin {\theta }_0\sin \theta \\ {y}^{\prime }=r\sin ({\theta }_0+\theta )=r\sin {\theta }_0\cos \theta +r\cos {\theta }_0\sin \theta \end{gathered}$$

由于$x=r\cos {\theta }_0,y=r\sin {\theta }_0$，则上式可以写为

$$\begin{gathered} x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta \\ {y}^{\prime }=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{gathered}$$

写成矩阵形式即为

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

也就是说，在平面直角坐标系上，向量绕原点顺时针旋转$\theta$，相当于左乘一个旋转矩阵。

推广到三维，为了限制$xy$坐标平面上的旋转，要将其旋转中心从原点扩展为绕着$z$轴旋转，从而三维旋转矩阵可推广为

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

同理可得到绕三个轴转动的旋转矩阵，为了书写方便，记$S_{\theta }=\sin \theta ,C_{\theta }=\cos \theta$，可列出下表。

初步演示

将旋转矩阵写成函数是十分方便的，下面用lambda表达式来实现

import numpy as np
# 将角度转弧度后再求余弦
cos = lambda th : np.cos(np.deg2rad(th))
sin = lambda th : np.sin(np.deg2rad(th))

# 即 Rx(th) => Matrix
Rx = lambda th : np.array([
    [1, 0,       0],
    [0, cos(th), -sin(th)],
    [0, sin(th), cos(th)]])
Ry = lambda th : np.array([
    [cos(th),  0, sin(th)],
    [0      ,  1, 0],
    [-sin(th), 0, cos(th)]
])
Rz = lambda th : np.array([
    [cos(th) , sin(th), 0],
    [-sin(th), cos(th), 0],
    [0       , 0,       1]])

有了旋转矩阵，就可以旋转，接下来让正方体沿着三个轴分别旋转30°，其效果如下

由于ax.voxels在绘图时，要求输入的是拥有三个维度的数组，而旋转矩阵是$3\times 3$矩阵，相当于是二维数组，彼此之间可能很难计算，所以实际计算时，需要对数组维度进行调整

import matplotlib.pyplot as plt
# 用于批量调节x,y,z的数组维度
Reshape = lambda x,y,z : [x.reshape(2,2,2), y.reshape(2,2,2), z.reshape(2,2,2)]


filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
# 将x,y,z展开，以便于矩阵计算
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

fig = plt.figure("rotate")
# 此为未旋转的正方体
ax = fig.add_subplot(1,4,1, projection='3d')
ax.voxels(x,y,z, filled=filled)

# 绕x轴旋转30°
X, Y, Z = Rx(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,2, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 绕y轴旋转30°
X, Y, Z = Ry(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,3, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 绕z轴旋转30°
X, Y, Z = Rz(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,4, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

plt.show()

不同转动顺序的影响

众所周知，矩阵计算是不能交换的，反映到实际生活中，就是不同的旋转次序，可能会导致完全不同的结果，接下来沿着不同的旋转次序，来对正方体进行旋转，效果如下

需要注意的是，由于矩阵左乘向量表示对向量进行旋转，所以距离向量最近的矩阵表示最先进行的操作，即$R_z{R}_y{R}_x\vec{r}$表示先转$R_x$，$R_y$次之，$R_z$最后。

代码如下

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

fig = plt.figure("rotate")
# 旋转顺序 x, y, z
X, Y, Z = Rz(30) @ Ry(30) @ Rx(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,1, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 旋转顺序 z, y, x
X, Y, Z = Rx(30) @ Ry(30) @ Rz(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,2, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 旋转顺序 y, x, z
X, Y, Z = Rz(30) @ Rx(30) @ Ry(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,3, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

plt.show()

总之，虽然分不清谁是谁，但最起码可以看清楚，不同的旋转顺序的确导致了不同的旋转结果。

旋转演示

为了更加清楚地表示这一过程，可以将正方体的旋转过程绘制下来，先考虑单轴旋转，假设每次旋转3°，绕X轴旋转30次，则可得到

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
import imageio

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

def saveGif(X,Y,Z, gifs):
    plt.cla()
    ax = plt.subplot(projection='3d')
    ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)
    ax.set_xlim(-0.5,1.5)
    ax.set_ylim(-0.5,1.5)
    ax.set_zlim(-0.5,1.5)
    ax.set_title(f"theta={th}")
    plt.tight_layout()
    plt.savefig(f"tmp.jpg")
    gifs.append(imageio.imread(f"tmp.jpg"))

gifImgs = []
th = 0

for i in range(30):
    X,Y,Z = Rx(th)@xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=10)

通过这个方法，可以将不同顺序的旋转矩阵可视化表示，

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

gifImgs = []
th = 0
for _ in range(10):
    X,Y,Z = Rz(0) @ Rx(0) @ Ry(th) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

th = 0
for i in range(10):
    X,Y,Z = Rz(0) @ Rx(th) @ Ry(30) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

th = 0
for i in range(10):
    X,Y,Z = Rz(th) @ Rx(30) @ Ry(30) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=10)

最后得到三种不同旋转顺序的区别

x-y-z	z-y-x	y-x-z