高级控制理论-状态空间的表述

举例引入

1.首先引入一个质量-弹簧-阻尼系统（mass-spring-damping）,它的质量为m,弹簧的弹性系数为k，阻尼为B,x为滑块移动的距离，向右为正。
系统输入：u(t)=f(t),外界施加给滑块的拉力
系统输出：x,滑块移动的距离

再对弹簧做受力分析，受到外力f(t),弹簧力f(k),阻力f(B)
根据牛顿第二定理建立方程（原视频方程有误，已修改）

再对上述等式做拉普拉斯变换以及传递函数（系统输出/系统输入）公式：

状态空间的表述

在现代高级控制理论里面，一个系统包括输入输出以及状态变量，并且通过一个一阶微分方程表述：

将上面的弹簧阻尼系统转成状态空间，主要是变成一阶微分方程；
选择状态z1,z2,如下图：

然后将上述状态量转成用矩阵方式表述，y就是是系统输出：此时等于z1,且z1=x（见上面的定义）

再来看系统状态空间表达方程和传递函数的关系：

对状态方程以及系统输出方程做拉普拉斯变换以及公式推导：

上式的完整的推导就建立了传递函数与系统状态空间方程的关系；
再将矩阵带入方程，可以发现世界线收束了，通过拉普拉斯变化上面推导的传递函数和我们用系统状态空间方程推导的传递函数结果是一致的（以前上课时老师哪讲这么细，B站Dr_CAN老师我是真的佩服，本科研究生阶段能遇到仔细讲解的老师屈指可数）：

再观察传递函数的分母部分，发现他的表达式和|SI-A|的行列式是息息相关的，当行列式等于零的时候，s就是矩阵A的特征值。在经典控制理论中，ms^2+Bs+k=0,s是极点,它将决定系统稳定性，那么我们可以猜测A矩阵的特征值可能会决定系统稳定性

练习题

R1与R2是两个电阻，与我们所学表示不同，其它都能理解，高中物理知识吧，补一点电容知识：

所以下面电流是： $i_1=c_1\dot{v_1}$

总结