雅可比矩阵

本人之前写过的关于变量替换的文章：多重积分中的换元法

个人理解：在坐标系变换前后，微元面积的大小有变化，所以变换后的坐标系需要乘一个因子（即雅克比矩阵的行列式）才能与变换前的微元面积大小相同

Jacobian matrix is matrix representing best linear map approximation of f near (a,b) --摘自：What is Jacobian? | The right way of thinking derivatives and integrals

Jacobian determinant How much areas scale near (a,b) --摘自：What is Jacobian? | The right way of thinking derivatives and integrals

我们将左侧直线坐标系经过线性变换后得到的一个直线坐标系，用这个变换后的直线坐标系来近似代替左侧直线坐标系经过函数$f(x,y)=(x^2-y^2，3xy)$变换后的实际坐标系（已直代曲）

下图来源：Change of Variables & The Jacobian | Multi-variable Integration
函数的导数代表：若自变量做微小变动后，相应函数值做多大改变，相当于一个缩放因子
函数导数与雅可比矩阵有什么关系？
个人理解：雅可比矩阵的每个元素都代表了对应列向量的每个分量方向上在线性变换过程中的缩放倍数