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前言
这篇开始会带领大家学习二叉树，会比较深入的去探讨，希望能够给大家有很多的启发！
一、树型结构
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。**把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。**它具有以下的特点：
- 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
- 除根节点外，其余节点被分为M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 树是递归定义的(非常重要)
1.2 树与非树
- 树形结构中，子树之间是不能有交集的，否则就不是树形结构。
- 除了根节点外，一个节点只能有一个父节点，否则就不是二叉树。
- 一颗n个节点的树有n-1条边。
1.3 树的一些重要结论
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如下图：A的度为2。
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度。如下图：树的度为2。
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点：如下图：D、G、F都是叶结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子节点，则这个结点称为其子节点的父结点；如下图：A是B的父结点。
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如下图：B是A的孩子结点。
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如下图：A。
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次；如下图：树的高度为4。
1.4 树的表示方法
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦，实际上树有很多种表示方法，如：孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }二、二叉树
2.1 概念
一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空。
- 或者是由一个根节点加上两棵树称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 每个结点最多有两颗子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 两种特殊的二叉树
满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i-1)(i>0)个结点。括号里面代表的是次方。
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2(k) - 1个节点。
- 
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶子结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。(这一条根据N个节点的二叉树有N-1条边很容易可以推理出来。)
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)向上取整。
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1. 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点 2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子 3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子 三、二叉树性质的几道选择题训练
- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为()
A. 不存在这样的二叉树
B. 200
C. 198
D. 199
题解
答案：B
根据结论3可以得出 叶子结点树 = 度为2的非叶结点树 + 1- 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为()
A. n
B. n+1
C. n-1
D. n/2
题解
答案：A
这题分为两种情况，因为题目给出的是完全二叉树，而完全二叉树最后一个节点要么是叶子节点，要么是只有左孩子节点，也就是只有一个节点，那么前者二叉树的个数肯定是个奇数，后者二叉树的个数肯定是个偶数，因为有个根节点是单数，我们在多一个左孩子出来，那么结果肯定是偶数。
节点数为偶数的情况下，叶子结点树为N/2
节点树为奇数的情况下，叶子节点数为N/2向上取整- 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为()
A. 383
B. 384
C. 385
D. 386
题解
答案：B
节点数为奇数，叶子结点树为N/2向上取整- 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为
A. 11
B. 10
C. 8
D. 12
题解
答案：B
根据结论4得出答案，注意结果要向上取整四、二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：// 孩子表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 } // 孩子双亲表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点 }我们本次的学习使用孩子表示法来构建二叉树。
五、二叉树的基本操作
5.1 二叉树的遍历
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
5.1.1 前中后序遍历
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
前序遍历结果： 1 2 4 5 3 6 7
中序遍历结果： 4 2 5 1 6 3 7
后序遍历结果： 4 5 2 6 7 3 15.1.2 层序遍历
层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。层序遍历结果：1 2 3 4 5 6 7
5.1.3 代码实现：
class BTNode { public char val; public BTNode left;// 左孩子的引用 public BTNode right;// 右孩子的引用 public BTNode(char val) { this.val = val; } } public class BinaryTree { //public BTNode root;//二叉树的根节点 public BTNode createTree() { BTNode A = new BTNode('A'); BTNode B = new BTNode('B'); BTNode C = new BTNode('C'); BTNode D = new BTNode('D'); BTNode E = new BTNode('E'); BTNode F = new BTNode('F'); BTNode G = new BTNode('G'); BTNode H = new BTNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; C.left = F; C.right = G; E.right = H; return A; } // 前序遍历 void preOrder(BTNode root) { if (root == null) { return; } System.out.print(root.val + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } // 中序遍历 void inOrder(BTNode root) { if (root == null) { return; } inOrder(root.left); System.out.print(root.val + " "); inOrder(root.right); } //后序遍历 void postOrder(BTNode root) { if (root == null) { return; } inOrder(root.left); inOrder(root.right); System.out.print(root.val + " "); } } public class Test { public static void main(String[] args) { BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); BTNode root = binaryTree.createTree(); System.out.print("前序遍历结果："); binaryTree.preOrder(root); System.out.println(); System.out.print("中序遍历结果："); binaryTree.inOrder(root); System.out.println(); System.out.print("后序遍历结果："); binaryTree.postOrder(root); } }
今天我们的学习就到这了！- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为()