PID控制算法学习笔记总结
1、适用对象
PID适用于线性系统。
1.1线性系统需要满足叠加性和齐次性，所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。对于线性连续控制系统，可以用线性的微分方程来表示。不满足叠加性和均匀性的系统即为非线性系统。
1.2线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
2、PID的公式解读
：PID控制器的输出信号
：偏差值，偏差值=给定值r(t)
-测量值y(t)
：比例增益
：积分时间常数
：微分时间常数
：积分增益
:：微分增益
2.1比例增益的意义
是指PID输出信号
与偏差值
的比值，此时不考虑引入积分和微分环节，单纯考虑比例环节而得出来的
，注意，PID输出信号
是一个增量的概念，即每次系统调节以求达到目标值
时的一个调节量！
为了方便理解，引入下面一段话，注意这段话里面的
和
分别对应哪个值
我们先说PID中最简单的比例控制，抛开其他两个不谈。还是用一个经典的例子吧。假设我有一个水缸，最终的控制目的是要保证水缸里的水位永远的维持在1米的高度。假设初始时刻，水缸里的水位是0.2米，那么当前时刻的水位和目标水位之间是存在一个误差的error，且error为0.8.这个时候，假设旁边站着一个人，这个人通过往缸里加水的方式来控制水位。如果单纯的用比例控制算法，就是指加入的水量u和误差error是成正比的。即 u=kp×error。
假设kp取0.5，那么t=1时（表示第1次加水，也就是第一次对系统施加控制），那么u=0.5×0.8=0.4，所以这一次加入的水量会使水位在0.2的基础上上升0.4，达到0.6。
接着，t=2时刻（第2次施加控制），当前水位是0.6，所以error是0.4。u=0.5×0.4=0.2，会使水位再次上升0.2，达到0.8。如此这么循环下去，就是比例控制算法的运行方法。可以看到，最终水位会达到我们需要的1米。
但是，单单的比例控制存在着一些不足，其中一点就是 –稳态误差！
像上述的例子，根据kp取值不同，系统最后都会达到1米，只不过kp大了到达的快，kp小了到达的慢一些。不会有稳态误差。但是，考虑另外一种情况，假设这个水缸在加水的过程中，存在漏水的情况，假设每次加水的过程，都会漏掉0.1米高度的水。仍然假设kp取0.5，那么会存在着某种情况，假设经过几次加水，水缸中的水位到0.8时，水位将不会再变换！！！因为，水位为0.8，则误差error=0.2. 所以每次往水缸中加水的量为u=0.5*0.2=0.1.同时，每次加水，缸里又会流出去0.1米的水！！！加入的水和流出的水相抵消，水位将不再变化！！也就是说，我的目标是1米，但是最后系统达到0.8米的水位就不再变化了，且系统已经达到稳定。由此产生的误差就是稳态误差了。（在实际情况中，这种类似水缸漏水的情况往往更加常见，比如控制汽车运动，摩擦阻力就相当于是“漏水”，控制机械臂、无人机的飞行，各类阻力和消耗都可以理解为本例中的“漏水”）
所以，单独的比例控制，在很多时候并不能满足要求。
稳态误差又称为静差，需要注意的是，静差本质上也是偏差，不过是系统稳定后的一个特殊的偏差值，这个值不再变化，已经“静止”了，故称为静差。
百度百科上有种说法摘抄如下：
成比例地反映控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，立即产生控制作用以减小偏差。比例控制器的输出u(t)与输入偏差e(t)成正比，能迅速反映偏差，从而减小偏差，但不能消除静差。静差是指系统控制过程趋于稳定时，给定值与输出量的实测值之差。偏差存在，才能使控制器维持一定的控制量输出，因此比例控制器必然存在着静差。由偏差理论知，增大虽然可以减小偏差，但不能彻底消除偏差。比例控制作用的大小除与偏差e(t)有关之外，还取决于比例系数Kp的大小。比例系数Kp越小，控制作用越小，系统响应越慢；反之，比例系数Kp越大，控制作用也越强，则系统响应越快。但是，Kp过大会使系统产生较大的超调和振荡，导致系统的稳定性能变差。因此，不能将Kp选取过大，应根据被控对象的特性来折中选取Kp，使系统的静差控制在允许的范围内，同时又具有较快的响应速度。
问题：为什么比例控制器不能消除静差？
参考第一个加水的例子可知，系统的增量和系统的失量平衡时，系统就达到了稳态，即不再随时间改变，由于偏差一直存在，所以比例环节的调节也一直存在，只是调节的增量和系统的失量平衡了，之所以存在这种情况，是因为比例环节没有把时间因素纳入到对系统稳定性影响的考虑中。
问题：为什么Kp越大，控制作用越强？
Kp本质上是反应系统调节量
大小的，Kp越大，
就越大，系统注入的增量就越大，会把系统从当前的值快速提升至目标值附近，所谓快速就是系统相应快，几个调节周期下来就已经接近目标值，因为每次的增量给定的越大，所需的调节周期就越小。
问题：Kp过大会使系统产生较大的超调量和振荡，导致系统的稳定性变差，如何理解这句话？
首先，一般所指的超调是说的下图中曲线的第一个波峰（红色和黄色发生了超调），其定义式为：
超调量=
是第一个波峰的值，
是系统的稳态值，即图中的设定值
以加水的例子来说，考虑漏水，如果把Kp取为0.8，那么第一次加水就是0.8*0.8=0.64；此时水位为0.2+0.64-0.1=0.74，error为1-0.74=0.26，第二次加水为0.8*0.26=0.208，此时水位为0.208+0.74-0.1=0.848，error为1-0.848=0.152；第三次加水为0.8*0.152=0.1216；此时水位为0.848+0.1216-0.1=0.8696；
把Kp取为1，第一次加水：1*0.8=0.8；此时水位：0.8+0.2-0.1=0.9；error为1-0.9=0.1，第二次加水：1*0.1=0.1，此时水位为0.9+0.1-0.1=0.9；产生稳态误差……
把Kp取为1.1，第一次加水：1.1*0.8=0.88；此时水位：0.88+0.2-0.1=0.96；error为1-0.96=0.04；第二次加水：1.1*0.04=0.044；此时水位：0.96+0.044-0.1=0.904；error为1-0.904=0.096，第三次加水：1.1*0.096=0.1056；此时水位：0.904+0.1056-0.1=0.9096；error为1-0.9096=0.0904；第四次加水：1.1*0.0904=0.09944；此时水位：0.9096+0.09944-0.1=0.90904……系统开始发生振荡（0.96-0.904-0.9096-0.90904）
把Kp取为1.2，第一次加水：1.2*0.8=0.96，此时水位：0.96+0.2-0.1=1.06；发生超调，超调量为0.06，error为1-1.06=-0.06；第二次加水：1.2*（-0.06）=-0.072，即需要往外抽水0.072，此时水位：1.06-0.072-0.1=0.888；error为1-0.888=0.112；第三次加水：1.2*0.112=0.1344；此时的水位：0.888+0.1344-0.1=0.9224；error为1-0.9224=0.0776；第四次加水：1.2*0.0776=0.09312；此时的水位：0.9224+0.09312-0.1=0.91522.已经发生振荡（1.06-0.888-0.9224-0.91522）
把Kp取的更大时，系统会产生更大的超调量，没必要再往上取了。
以上的例子可以看出，Kp大时，系统能快速接近目标值，但是可能发生振荡，因为调节量的波动大。
2.2积分增益的意义
百度百科的解释如下，
积分环节的作用，主要用于消除静差提高系统的无差度。积分作用的强弱，取决于积分时间常数Ti，Ti越大积分作用越弱，反之则越强。积分控制作用的存在与偏差e(t)的存在时间有关，只要系统存在着偏差，积分环节就会不断起作用，对输入偏差进行积分，使控制器的输出及执行器的开度不断变化，产生控制作用以减小偏差。在积分时间足够的情况下，可以完全消除静差，这时积分控制作用将维持不变。Ti越小，积分速度越快，积分作用越强。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。
CSDN上的解释，结合加水的例子理解
积分控制算法，就是为了消除稳态误差（在理解上可以参考积分的几何意义），由于积分是从0时刻一直积分到当前时刻 t，并且是对e(t)函数进行积分。
在只有P(比例)环节的时候，在上面我们可以看到，在理想状态下也是可以满足控制需求，但是在真实场景中无法达到。所以**引入I(积分)来消除静态误差。**在到达节点位置之前，e(t)始终是正的，也就是它的积分始终是大于0的，如果系统存在稳态误差的话，由于误差一直不变，但是积分变呀，积分会一直积下去，之前的稳态误差是中和了比例控制算法的值，现在有一个一直增长的积分，导致每次u(t)的输出也在一直的增大，从而稳态误差就被消除了。到最后，误差为零了，而此时的e(t)也为0了，积分也就固定在某一个值了。从而每次的稳态误差就都可以被消除掉。
如果到达节点位置之后了，也就是冲过了节点的指定位置，这时候误差就变为了负的，然后由于积分正负可以相减，同样可以很好的适应这种情况。
2.3微分增益的意义
CSDN上的解释如下，结合加水的例子理解
用了积分控制算法，现在可以消除稳定误差了，但是考虑下面几种情况：
1.现在的情况是不存在稳态误差，但是存在积分控制算法，那么问题就出现了，当到达了目的位置后，哪怕误差已经是0了，但是积分控制算法那里还是一个整数，导致下一次输出u(t)仍然为一个整数，而不是0，这样的话，就会越过目的位置，虽然之后误差就变成了负数，又会回落回目的位置，但是这样始终是震荡的，而不是一直稳定下去。
2.在初始状态下，如果Kp或者Ki设置的过大，则会导致u(t)的变化幅度过大。
综上，在上述情况下，加入微分控制就很有必要，其实微分控制的作用就是防止幅度过大（防止超调），导致震荡或者超调，微分就是为了在输出斜率变的太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号。微分可以防止震荡，比如当控制无人机悬停到一定高度，kd的作用就是如何让他停稳。
当存在稳态误差的时候，由于微分对于常数的求导是0，故微分不能解决稳态误差的问题。单独使用意义不大，故需要与比例积分共同配合使用，构成PD或PID控制。
从时间的角度讲，比例作用是针对系统当前误差进行控制，积分作用则针对系统误差的历史，而微分作用则反映了系统误差的变化趋势，这三者的组合是“过去、现在、未来”的完美结合。同样这三个参数也不可以设置的过大，我们要找到一个平衡点（调参）。