傅里叶分析的起初源于欧拉在研究弦的振动问题时所发现的一个现象：如果在某一时刻，振动弦的形状是这些标准震荡模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也都是这些振荡模的线性组合。引入到LTI系统，就是说：如果一个LTI系统的输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表现程这种形式。
这种思想在卷积上也有体现。即，对于任意一个函数，其都能被表示为一个冲激函数和此函数的一个卷积。在得出系统的冲击响应后，对于任意输入的激励函数，其经过此LTI系统的响应就是冲激响应和该函数的卷积。
在研究LTI系统时，我们总希望将输入信号用一组基本信号线性表示。因为这样，根据LTI系统的性质，其输入对应响应就可以直接用基本信号对应的响应的线性组合表示。那么这样，就不用没来一个信号就重新解一次微分方程。
那么基于上述思想，我们所选择的基本信号就应当符合两个性质：1.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号 。2.LTI系统对每一个基本信号的响应应该比较简单，同时这类基本信号对于目标构成信号的表示应当较为简单。
傅里叶分析的价值正在于此。在讨论其价值前，先让我们定义一个概念： 一个信号，其作用于系统所得到的响应为一个常数(可能时复数)乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而这个常数就是特征值
可以证明，复指数就是LTI系统的特征函数：
那么，如果一个输入信号能够表示为不同复指数的线性组合，它的响应将会变得非常简单。而这种表示成
的形式，就称为傅里叶级数。当然，这个信号是周期的，关于推广到非周期信号，这篇不是重点。
接下来，此理论的重点就在于如何确定傅里叶级数所能表示的信号范围。即，到底多大的一个范围内的信号能够展开成傅里叶级数。这个问题本身的证明比较复杂，如果有时间我会单独发一篇文章进行严格推导。
假设一个周期信号能够被展开成傅里叶级数，那么每个复指数前的系数应当如何求解：
还有一种傅里叶系数的求法，即定义一个误差函数，然后求偏导得出误差函数最小时各个an的值，由于这些谐波信号为完备正交级，所以误差函数最小时一定为零。这种方法也可以求得各次谐波系数，这里不再推导。
由此可见，傅里叶变换应用如此广泛的原因在于：首先，傅里叶级数能够表示除极特殊周期函数外的所有周期函数，以及大多数非周期函数。其次，傅里叶级数的基本信号复指数信号在LTI系统的响应非常简单，并且用它表示输入信号也只是简单的线性组合。