题目分析
前几天在b站看到这样一个题目
分析一下选项
A选项： α 1 − α 2 , α 2 − α 3 \alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3 α1−α2,α2−α3这都是AX=0的解向量，所以就是考察AX=0解的线性组合的相关性。
B选项同A选项
C选项： α 3 \alpha_3 α3是AX=b的解，而 α 1 − α 2 \alpha_1-\alpha_2 α1−α2是AX=0的解，也就是考察齐次解和非齐次解的相关性
D选项： r ( A n ) = 1 r(A_n)=1 r(An)=1，则AX=0的基础解系只有一个解向量即为 β \beta β，跟C选项考察的内容一样
题目处理
对于AB选项处理向量组线性组合的相关性问题，我们通常是给转化成矩阵乘法处理：
[ α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 1 ] = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ) \begin{bmatrix} \alpha _1-\alpha_2 ,&\alpha_2-\alpha_3, &\alpha_3-\alpha_1 \end{bmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha_1, & \alpha_2, & \alpha_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 &1 \end{pmatrix} [α1−α2,α2−α3,α3−α1]=(α1,α2,α3)⎝
⎛1−1001−1−101⎠
⎞
给出A=BC的形式，如何判断A向量组的相关性呢？
- ∣ C ∣ = 0 |C|=0 ∣C∣=0，即C向量组线性相关，则A向量组一定线性相关
- ∣ C ∣ ≠ 0 |C| \ne0 ∣C∣=0，即C向量组线性无关，则A向量组相关性取决于B向量组
A 选项的系数矩阵 ∣ 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ∣ = 0 A选项的系数矩阵\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 &1 \end{vmatrix}=0 A选项的系数矩阵∣
∣1−1001−1−101∣
∣=0
则A选项的向量组一定是线性相关的。A选项正确。
B 选项的系数矩阵 ∣ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ∣ ≠ 0 B选项的系数矩阵 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 &1 \end{vmatrix}\ne0 B选项的系数矩阵∣
∣110011101∣
∣=0
则B选项的向量组相关性取决于 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3。原题中只说这三个向量是解向量，所以既可能是线性相关，也可能是线性无关。B正确。
CD选项：
齐次的通解 ξ \xi ξ是否能表示非齐次的解呢？
非齐次的通解是由齐次的通解 ξ \xi ξ和非齐次的特解 ζ \zeta ζ所组成的，那么问题变成 ζ \zeta ζ可以由 ξ \xi ξ表示吗？
我们不妨假设 ζ \zeta ζ可以由 ξ \xi ξ表示，那么非齐次的通解实际上仅由 ξ \xi ξ表示就足够了，没有必要弄出一个特解 ζ \zeta ζ是吧。这就不符合我们之前非齐次解的结构。所以说特解 ζ \zeta ζ是不能由齐次通解 ξ \xi ξ所线性表示。即AX=b的解向量中有 n − r ( A ) + 1 n-r(A)+1 n−r(A)+1个线性无关的解向量。
那么本题的C选项就是正确的
而D选项中，可以得到 β \beta β是AX=0的基础解系，而 α 1 − α 2 \alpha_1-\alpha_2 α1−α2是AX=0的解，那么就有
α 1 − α 2 = k β \alpha_1-\alpha_2=k\beta α1−α2=kβ
则说明 α 1 , α 2 , β \alpha_1,\alpha_2,\beta α1,α2,β线性相关了。