引言

从本节开始将介绍同为概率生成模型的隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)。在介绍隐马尔可夫模型之前，对概率模型的整个逻辑进行阶段性介绍。

概率模型的阶段性介绍

频率学派求解模型的特点

在极大似然估计与最大后验概率估计中介绍过，频率学派的思想是将概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$中的参数$\theta$视作一个未知常量，通过求解$\theta$实现求解概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$。

频率学派针对的核心问题可看作是优化问题。何为优化问题？
它的具体流程可以表示如下：

• 首先，针对具体任务，将模型(Model)定义出来；

• 基于模型，结合任务以及样本点的性质，构建出相应的策略(Strategy)：它是关于衡量模型参数的工具，即通过构建损失函数(Loss Function)来描述模型参数$\theta$ 和任务结果 之间的关联关系。

• 算法部分，针对构建好的策略，求解最优模型参数$\hat{\theta }$，从而求解概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$。
  常见的模型参数求解方法有：

  • 求解析解：极大似然估计(Maximum Likelihood Estimate，MLE)；
  • 求迭代解：EM算法(Expectation-Maximization algorithm, EM)；梯度下降(Gradient Descent,GD)；牛顿法(Newton’s Method)，自适应运动估计算法(Adaptive Momentum,Adam)等等。

• 示例1：感知机算法(Perceptron)

  • 模型表示：
    $$f(\mathcal{W},b)=sign({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+b)(i=1,2,\cdots ,N)$$
  • 策略设计：
    $$\mathcal{L}(\mathcal{W},b)=\sum _{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathcal{D}}-y^{(i)}\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+b\right)(\mathcal{D}=\{(x^{(i)},y^{(i)})\mid y^{(i)}\left({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+b\right)<0\})$$
  • 算法过程：梯度下降
    $${\mathcal{W}}^{(t+1)}\leftarrow {\mathcal{W}}^{(t)}-\lambda {\nabla }_{\mathcal{W}}\mathcal{W}(\mathcal{W},b)$$

• 示例2：线性回归(Linear Regression)

  • 模型表示：
    $$f(\mathcal{W},b)={\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+b(i=1,2,\cdots ,N)$$
  • 策略设计：最小二乘估计(Least Squares estimation,LS)
    $$\mathcal{L}(\mathcal{W},b)=\sum _{i=1}^N||{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+b-y^{(i)}|{|}^2$$
  • 算法过程：最小化最小二乘估计产生的误差结果
    $$\begin{gathered} \hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmin}}\mathcal{L}(\mathcal{W},b) \\ \hat{b}=\underset{b}{\mathrm{argmin}}\mathcal{L}(\mathcal{W},b) \end{gathered}$$

贝叶斯学派求解模型的特点

基于贝叶斯学派延伸的体系被称作概率图模型。它对应的概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$的求解主要通过两步操作：

• 引入隐变量$\mathcal{Z}$，对隐变量$\mathcal{Z}$的后验概率分布$P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},\theta )$进行求解。
• 基于步骤1，对完整数据$(\mathcal{X},\mathcal{Z})$的联合概率分布$P(\mathcal{X},\mathcal{Z}\mid \theta )$积分，从而求解概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$：
  $$\begin{array}{rl}P(\mathcal{X}\mid \theta )& ={\int }_{\mathcal{Z}}P(\mathcal{X},\mathcal{Z}\mid \theta )d\mathcal{Z}\\ & ={\int }_{\mathcal{Z}}P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},\theta )\cdot P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Z})d\mathcal{Z}\end{array}$$

针对$P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X})$的求解被称为推断(Inference)。在之前介绍过的EM算法中就介绍了两种情况：

• 狭义EM算法：$P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},\theta )$可直接求解：
  $$\mathcal{Q}(\mathcal{Z})=P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},{\theta }^{(t)})$$

• 广义EM算法：由于$P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},\theta )$在定义过程中就十分复杂，导致其不可直接求解。广义EM就通过 最小化$\mathcal{K}\mathcal{L}$散度的方式求解$P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},\theta )$的近似解：
  $$\begin{array}{rl}{\hat{\mathcal{Q}}}^{(t+1)}(\mathcal{Z})& =\underset{\mathcal{Q}(\mathcal{Z})}{\mathrm{argmin}}\mathcal{K}\mathcal{L}\left[\mathcal{Q}(\mathcal{Z})||P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},{\theta }^{(t)})\right]\\ & =\underset{\mathcal{Q}(\mathcal{Z})}{\mathrm{argmax}}{\int }_{\mathcal{Z}}\mathcal{Q}(\mathcal{Z})\log \frac{P(\mathcal{X},\mathcal{Z}\mid \theta )}{\mathcal{Q}(\mathcal{Z})}d\mathcal{Z}\end{array}$$

  实际上，求解$P(\mathcal{Z}\mid \mathcal{X},\theta )$近似解的方式有很多种，如确定性近似的代表：变分推断(Variational Inference,VI)，随机性近似的代表：马尔可夫链蒙特卡洛方法(Markov Chain Monte Karlo,MCMC)，在后续的笔记中将会介绍。

静态概率图模型与动态概率图模型的区别

概率图，本质上是将数据结构中的图结构(Graph)赋予概率的意义。既然是图模型，自然分有向图和无向图。

• 通常称有向概率图模型为贝叶斯网络(Bayesion Network)；
• 通常称无向概率图模型为马尔可夫随机场(Markov Random FIeld)或 马尔可夫网络(Markov Network)；

如果将概率图模型添加一个其他维度的特征信息。如时间序列信息，可以将静态概率图模型延伸至动态概率图模型。

静态概率图模型

在高斯混合模型(Gaussain Mixture Model,GMM)中，从生成模型角度观察，概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$中生成的样本$x^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$，各样本之间独立同分布。即：
可以描述为：各样本$x^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$之间相互独立并且均服从$P(\mathcal{X}\mid \theta )$分布。
$$x^{(i)}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }P(\mathcal{X}\mid \theta )$$
并且高斯混合模型中一旦样本$x^{(i)}$从概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$中生成出来后，就 被固定住，不再发生变化；

相反，什么情况下概率模型$P(\mathcal{X}\mid \theta )$生成出的样本$x^{(i)}$会发生变化？
以高斯混合模型为例，介绍不发生变化的情况。
观察高斯混合模型的概率图表示如下(左图)：

• 高斯混合模型的隐变量$\mathcal{Z}$一个离散的参数分布：
  Z = { z 1 , z 2 , ⋯   , z K } \mathcal Z = \{z_1,z_2,\cdots,z_{\mathcal K}\} Z={z1​,z2​,⋯,zK​}
• 每个离散参数唯一对应一个概率结果：
  $$z_k\to p_k\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{p}_k=1$$
• 对任意样本$x^{(i)}$，它对应的隐变量$z^{(i)}$以及隐变量对应的概率分布$p_{z^{(i)}}$表示如下：
  $$\begin{gathered} z^{(i)}=(z_1^{(i)},z_2^{(i)},\cdots ,z_{\mathcal{K}}^{(i)}{)}^T \\ {p}_{z^{(i)}}=(p_1^{(i)},p_2^{(i)},\cdots ,p_{\mathcal{K}}^{(i)}{)}^T \end{gathered}$$
• 同理，在隐变量$z^{(i)}$中的概率$p_{z^{(i)}}$确定后，样本$x^{(i)}$将从$z^{(i)}$唯一对应的高斯分布$\mathcal{N}({\mu }_{z^{(i)}},{\Sigma }_{z^{(i)}})$中随机生成出来。对应的${\mu }_{z^{(i)}},{\Sigma }_{z^{(i)}}$表示为如下格式：
  $$\begin{gathered} {\mu }_{z^{(i)}}=({\mu }_1^{(i)},{\mu }_2^{(i)},\dots ,{\mu }_{\mathcal{K}}^{(i)}{)}^T \\ {\Sigma }_{z^{(i)}}=({\Sigma }_1^{(i)},{\Sigma }_2^{(i)},\cdots ,{\Sigma }_{\mathcal{K}}^{(i)}{)}^T \end{gathered}$$
• 基于上述参数$p_{z^{(i)}},{\mu }_{z^{(i)}},{\Sigma }_{z^{(i)}}$，一旦样本$x^{(i)}$在样本空间中被生成出来，参数$p_{z^{(i)}},{\mu }_{z^{(i)}},{\Sigma }_{z^{(i)}}$均被固定住，无法变化。

动态概率图模型

和上述逻辑相反，以时间特征信息为例，如果 隐变量$\mathcal{Z}$随着时间的变化而变化，从而影响$\mathcal{X}$的变化。那么称满足这种现象的概率图模型为动态概率图模型。

我们称上述右图中有序的隐变量组成的集合称为系统状态(System State)，它是由不同状态下的隐变量$\mathcal{Z}$组成的。

综上，我们观察到动态概率图模型包含两种特性：
后续简称动态模型(Dynamic Model)

• 从动态模型中生成的样本点$x^{(i)}$之间不是独立同分布；
• 系统状态中的状态(隐变量)$\mathcal{Z}$之间存在关联关系。
• 动态模型中不仅包含混合信息($P(\mathcal{Z},\mathcal{X})$)，还包含系统状态中隐变量的变化信息。

如果将动态模型继续向下划分：

• 如果 系统状态中的每一个状态$\mathcal{Z}$的取值范围是离散的，以系统状态中$t$时刻对应的隐变量${\mathcal{Z}}^{(t)}$为例，$z^{(i)t}$表示 $t$时刻的样本点$x^{(i)}$对应的隐变量，存在$\mathcal{K}$个离散结果供$z^{(i)t}$选择。即：
  z ( i ) t ∈ { z 1 ( i ) t , z 2 ( i ) t , ⋯   , z K ( i ) t } z^{(i)t} \in \{z_1^{(i)t},z_2^{(i)t},\cdots,z_{\mathcal K}^{(i)t}\} z(i)t∈{z1(i)t​,z2(i)t​,⋯,zK(i)t​}
  我们称满足上述条件的动态模型代表是隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)。
• 对应第一种情况，如果系统状态中的每一个状态$\mathcal{Z}$的取值范围是连续的，即上述示例中的$z^{(i)t}$通过 某个连续函数产生结果。基于该条件，可以继续向下划分：
  • 如果该连续函数是线性函数，它的动态模型代表是卡尔曼滤波(Kalman Filter)
  • 如果该连续函数是非线性函数，它的动态模型代表是粒子滤波(Particle Filter)

下一节将正式介绍隐马尔可夫模型。

相关参考：
机器学习-隐马尔可夫模型1-背景介绍