动量与动量守恒-EW帮帮网

一、冲量

二、动量

三、动量定理

3.1、质点

外力的作用使质点产生加速度，运动状态发生变化；
力的作用需要持续一段时间，或者需要持续一段距离，这就是力对时间的累积作用和力对空间的累积作用；
质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移；
一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。

一、冲量

定义：力的作用对时间的积累；

计算： $\overrightarrow{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

方向：速度变化的方向

单位： $N \cdot s = kg \cdot m / s^2 = kg \cdot m /s$ ，单位与动量单位相同

冲量是表征力持续作用一段时间的累计效应；是具有大小和方向的矢量；同时为一种过程量，其是改变物理机械运动状态的原因。

二、动量

物体和物体之间接触的时候相互之间存在作用力，作用效应不仅与质量与关还与速度有关，将质量和速度的乘积定义为动量，单位为 $kg \cdot m /s$ ：

$\vec{p}=m\vec{v}$

因此，动量同为一个矢量，方向与速度方向相同。

对于n个质点的质点系的动量，其动量为每个质点动量的矢量和：

$\vec{p}=\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_i$

也可通过质心的速度来计算n个质点的动量，即

$\vec{p}=\sum m_i \vec{v_i} = m\vec{v_c}$

动量是衡量刚体力学运动强度的物理量

三、动量定理

3.1、质点

$m \vec{a}= m \frac{d \vec{v}}{dt } = \frac{d(m \vec{v}) }{dt}=\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

1）微分形式：

$d(m \vec{v}) = \vec{F}dt = d \vec{I}$

质点动量的增量等于作用于质点上的元冲量

2）积分形式

$m \vec{v_2} - m \vec{v_1} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} d t = \vec{I}$

某一段时间内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。

3.2、n个质点的质点系

外力： $\vec{F}_i^{(e)}$ ，内力： $\vec{F}_i^{(i)}$

内力性质：

（1） $\sum \vec{F}_i^{(i)}=0$ 内力的合力为0

（2） $\sum \vec{M}_O( \vec{F}_i^{(i)}) =0$ 内力对任意一点力矩为0

（3） $\sum \vec{F}_i^{(i)} dt=0$ 内力的冲量之和为0

对于一个质点的动量有：

$d(m_i \vec{v}_i ) = \vec{F_i^{e}}dt + \vec{F_i^{i}}dt$

对于一个质点系：

$\sum d(m_i \vec{v}_i ) = \sum \vec{F_i^{e}}dt + \sum \vec{F_i^{i}}dt$

由于内力之和为0，因此对于一个质点系来说：

$d(\sum m_i \vec{v}_i ) =\sum \vec{F_i^{e}}dt$

1）微分形式

$d \vec{p} = \sum \vec{F}_i^{(e)} dt = \sum d \vec{I}_i^{(e)}$

即，

$\frac{d \vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}_i^{(e)}$

2）积分形式

$d \vec{p} = \sum \vec{F}_i^{(e)} dt = \sum d \vec{I}_i^{(e)}$

当时间由t1到t2，动量由p1变为p2，可以得到：

$\vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_i^{(e)}$

质点系动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点系动量的该变量等于在这段时间内作用质点系外力冲量的矢量和。

3.3、动量定理的标量形式

由3.1和3.2可以得到动量的两种计算等式：

$\frac{d \vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}_i^{(e)}$ 和 $\vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_i^{(e)}$

动量定理微分形式的投影式为：

$\frac{d \vec{p}_x} {dt} = \sum \vec{F}_x^{(e)}$ ， $\frac{d \vec{p}_y} {dt} = \sum \vec{F}_y^{(e)}$ ， $\frac{d \vec{p}_z} {dt} = \sum \vec{F}_z^{(e)}$

动量定理积分形式的投影式：

$\vec{p}_{2x} - \vec{p}_{1x} = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_x^{(e)}$

$\vec{p}_{2y} - \vec{p}_{1y} = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_y^{(e)}$

$\vec{p}_{2z} - \vec{p}_{1z} = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_z^{(e)}$

四、动量守恒定律

当作用在质点系的外力矢量和为0的时候，动量守恒，即：

if $\sum \vec{F}^{(e)} \equiv 0$ ， $\vec{p}$ =constant vector；

if $\sum \vec{F}_x^{(e)} \equiv 0$ ， $\vec{p}_x$ =constant vector；

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。

五、质心运动定理

根据上述的动量定理：

$\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d} t}\left(\sum_{i=1}^n m_i \overrightarrow{\mathbf{v}}_i\right)=\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d} t}\left(m \overrightarrow{\mathbf{v}}_C\right)=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{F}}_i^{(e)}$

可以得到质心运动定理：

$m \frac{\mathbf{d} \overrightarrow{\mathbf{v}}_C}{\mathbf{d} t}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{F}}_i^{(e)}$ 或 $m \overrightarrow{\mathbf{a}}_C=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{F}}_i^{(e)}$