ps:以例题理解。
目录
1.01背包问题
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000输入样例
4 5 1 2 2 4 3 4 4 5输出样例：
8
思路分析
代码：
#include<iostream>
#include<limits.h>
using namespace std;
int v[1001],w[1001];
int f[1001];
int N,V;
int main()
{
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=V;i++)
{
f[i]=INT_MIN;
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=V;j>=1;j--)
{
if(v[i]>j) f[j]=f[j];
else f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
for(int j=0;j<=V;j++)
{
cout<<f[j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<f[V]<<endl;
return 0;
}
2.完全背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000输入样例
4 5 1 2 2 4 3 4 4 5输出样例：
10
思路分析
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V;
int v[1010],w[1010];
int f[1010][1010];
int main()
{
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=1;j<=V;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[N][V]<<endl;
return 0;
}
//一维优化后
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V;
int v[1010],w[1010];
int f[1010];
int main()
{
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=v[i];j<=V;j++)
{
//f[j]=f[j];
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[V]<<endl;
return 0;
}
3.多重背包问题一（暴力法）
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。输入格式
第一行两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100输入样例
4 5 1 2 3 2 4 1 3 4 3 4 5 2输出样例：
10
思路分析
暴力代码
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V,v,w,s;
int f[110];
int main()
{
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>v>>w>>s;
for(int j=V;j>=v;j--)
{
for(int k=1;k<=s && k*v<=j;k++)
{
f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
}
}
}
cout<<f[V]<<endl;
return 0;
}4.多重背包问题二
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。输入格式
第一行两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100输入样例
4 5 1 2 3 2 4 1 3 4 3 4 5 2输出样例：
10
思路分析
优化代码
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V,n,m,s,ans=0;
int f[2000];
int v[11000],w[11000];
int main()
{
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>n>>m>>s;
int k=1;
while(k<=s)
{
v[++ans]=k*n;
w[ans]=k*m;
s-=k;
k*=2;
}
if(s>0)
{
v[++ans]=s*n;
w[ans]=s*m;
}
}
for(int i=1;i<=ans;i++)
{
for(int j=V;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[V]<<endl;
}5.分组背包
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 NN 组数据：
- 每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
- 每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100输入样例
3 5 2 1 2 2 4 1 3 4 1 4 5输出样例：
8
思路分析
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int N,V,s;
int v[100],w[100];
int f[110];
int main()
{
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>s;
for(int j=0;j<s;j++)
{
cin>>v[j]>>w[j];
}
for(int j=V;j>=0;j--)
{
for(int k=0;k<s;k++)
{
if(j>=v[k])
f[j]=max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
}
}
}
cout<<f[V]<<endl;
return 0;
}
6.线性dp之最长上升子序列
给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤1000，
−10^9≤数列中的数≤10^9输入样例：
7 3 1 2 1 8 5 6输出样例：
4
思路分析
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int f[1010],a[1010];
int n,Max=1;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
f[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
{
if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i], f[j]+1);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(Max<f[i]) Max=f[i];
}
cout<<Max<<endl;
return 0;
}