用unity实现在线课程
GAMES103-基于物理的计算机动画入门-王华民
的作业1
链接：
课程主页
https://games-cn.org/games103/
作业内容：
Angry Bunny: 使兔子模型带有刚体动画效果
参考链接：
Tips: 文章最下方附有全部源码
目录
一，程序演示
键盘操作：
- 点击“L”：发射兔子。
- 点击“R”：重置兔子。
二，公式推导
使用冲量法(Impulse)实现物体的刚体碰撞动画：物体的动画与两个参数，位置Position与旋转Rotation有关，而这两个参数的更新分别与线速度v与角速度w相关。冲量法的本质就是在动画计算过程中，时刻求解不断改变的v与w。
1. 定义动画中下一时刻的v与w
解释：
j表示冲量，定义如下：
假设dt无限小，所以在这段时间内的加速度a可以近似看作常量，所以可以根据牛顿第二定律F=Ma近似认为
（1.1）新线速度
（1.2）新角速度
<1.2.1> 首先定义刚体绕定点转动时，刚体的动量矩L为：
i表示组成刚体的mesh的第i个顶点，进而将等式L展开，可以得到以下形式，
<1.2.2> 其中，我们将红框部分称为惯性张量，同时，惯性张量可整理为：
<1.2.3> 上式1为单位矩阵。此时，我们可将动量矩L表示为：
<1.2.4> 因为力矩的物理定义为：
且动量矩L可变形为：
所以，我们可以得出结论，力矩等于动量矩L的一阶导，即：
<1.2.5> 由<1.2.3>知，
则关于角速度w的一阶导为：
<1.2.6> 所以，最终下一时刻的新角速度为：
<1.2.7> 注意最终一个细节，考虑到要将刚体的局部坐标系转到世界坐标系，所以对上式出现的所有ri左乘一个旋转矩阵，然后进行替换。
<1.2.8> 则新角速度为
这时回到开头，根据冲量J的定义，则新角速度为：
2. 计算冲量j
根据上述公式知，只要知道冲量j，就可以计算出新的
和
，然后更新刚体的新位置和状态。
冲量j可根据假设下一时刻的新速度
2.1 刚体上某一点的新速度与线速度和角速度的关系为
2.2 定义一个新的计算符号，将向量叉乘转换为向量*乘
2.3 这时，根据新旧速度差(-
)，我们可以计算得到冲量j
2.4 此时，除假设的外，一切参数已知。而
可通过提前设定的摩擦力系数
与
计算得到。
note: 由公式知，冲量和当前帧与下一帧的速度差有关，所以速度差越小，冲量越小。表现在动画效果上，即兔子在碰撞多次后，速度不断减缓，并慢慢停了下来。
三，代码实现
代码逻辑结构如下，
- 首先寻找该帧中所有发生碰撞且未产生回弹的点，然后取这些碰撞点的平均点，参与之后计算。
- 计算平均碰撞点的新速度
- 根据已知参数，计算系数K与冲量j
- 更新线速度
- （最后在update（）函数中，根据LeapFrog Integration蛙跳法更新刚体新的位置position与旋转状态rotation）
脚本源码：
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Rigid_Bunny : MonoBehaviour
{
bool launched = false;
float dt = 0.015f;
Vector3 v = new Vector3(0, 0, 0); // velocity
Vector3 w = new Vector3(0, 0, 0); // angular velocity
float mass; // mass
Matrix4x4 I_ref; // reference inertia
float linear_decay = 0.999f; // for velocity decay
float angular_decay = 0.98f;
float restitution = 0.5f; // for collision
float restitution_T = 0.2f; //水平面的摩擦力（自己给定）
Vector3 gravity =new Vector3(0.0f, -9.8f, 0.0f);
// Use this for initialization
void Start ()
{
Mesh mesh = GetComponent<MeshFilter>().mesh;
Vector3[] vertices = mesh.vertices;
float m = 1;
mass=0;
for (int i=0; i<vertices.Length; i++)
{
mass += m;
float diag=m*vertices[i].sqrMagnitude;
I_ref[0, 0]+=diag;
I_ref[1, 1]+=diag;
I_ref[2, 2]+=diag;
I_ref[0, 0]-=m*vertices[i][0]*vertices[i][0];
I_ref[0, 1]-=m*vertices[i][0]*vertices[i][1];
I_ref[0, 2]-=m*vertices[i][0]*vertices[i][2];
I_ref[1, 0]-=m*vertices[i][1]*vertices[i][0];
I_ref[1, 1]-=m*vertices[i][1]*vertices[i][1];
I_ref[1, 2]-=m*vertices[i][1]*vertices[i][2];
I_ref[2, 0]-=m*vertices[i][2]*vertices[i][0];
I_ref[2, 1]-=m*vertices[i][2]*vertices[i][1];
I_ref[2, 2]-=m*vertices[i][2]*vertices[i][2];
}
I_ref [3, 3] = 1;
}
Matrix4x4 Get_Cross_Matrix(Vector3 a)
{
//Get the cross product matrix of vector a
Matrix4x4 A = Matrix4x4.zero;
A [0, 0] = 0;
A [0, 1] = -a [2];
A [0, 2] = a [1];
A [1, 0] = a [2];
A [1, 1] = 0;
A [1, 2] = -a [0];
A [2, 0] = -a [1];
A [2, 1] = a [0];
A [2, 2] = 0;
A [3, 3] = 1;
return A;
}
// In this function, update v and w by the impulse due to the collision with
//a plane <P, N>
void Collision_Impulse(Vector3 P, Vector3 N)
{
// 0. 检测mesh的所有点，是否与平面发生碰撞
Matrix4x4 mat_R = Matrix4x4.Rotate(transform.rotation);
Vector3 pos = transform.position;
Mesh mesh = GetComponent<MeshFilter>().mesh;
Vector3[] vertices = mesh.vertices;
Vector3 avg_Collision_Point = new Vector3(0.0f, 0.0f, 0.0f); //平均碰撞点
int num_Collision = 0;
Vector3 ri = new Vector3(0.0f, 0.0f, 0.0f);
Vector3 vi = new Vector3(0.0f, 0.0f, 0.0f);
//计算在该帧中，模型一共有多少点发生了碰撞，最终取这些碰撞点的平均点参与计算
for (int i = 0; i < vertices.Length; i++)
{
//0.0 计算xi在世界坐标中的位置
ri = vertices[i];
Vector3 xi = pos + mat_R.MultiplyVector(ri);
//0.1 计算是否发生碰撞
if (Vector3.Dot((xi - P), N) >= 0.0f)
continue;
//0.2 计算碰撞后mesh是否已经处在回弹状态
vi = v + Vector3.Cross(w, mat_R.MultiplyVector(ri));
if (Vector3.Dot(vi, N) >= 0.0f)
continue;
avg_Collision_Point += ri;
num_Collision++;
}
if (num_Collision == 0) //如果模型没有发生碰撞，则返回
return;
// 1. 如果发生碰撞，则进行模型回弹处理
ri = avg_Collision_Point / num_Collision; //此时ri为模型的平均碰撞点
Vector3 Rri = mat_R.MultiplyVector(ri);
vi = v + Vector3.Cross(w, Rri);
// 1.0 计算碰撞后的新速度 vi_new
Vector3 vi_N = Vector3.Dot(vi, N) * N;
Vector3 vi_T = vi - vi_N;
float a = Mathf.Max(1.0f - (restitution_T * (1.0f + restitution) * vi_N.magnitude / vi_T.magnitude), 0.0f);
Vector3 vi_new_N = -restitution * vi_N;
Vector3 vi_new_T = a * vi_T;
Vector3 vi_new = vi_new_N + vi_new_T;
// 1.1 计算冲量J
Matrix4x4 I = mat_R * I_ref * mat_R.transpose;
Matrix4x4 K_temp = Get_Cross_Matrix(Rri) * I.inverse * Get_Cross_Matrix(Rri);
因为 unity没有提供matrix的加减法，所以手动计算
Matrix4x4 K = Matrix4x4.zero;
K[0, 0] = 1.0f / mass - K_temp[0, 0];
K[0, 1] = -K_temp[0, 1];
K[0, 2] = -K_temp[0, 2];
K[0, 3] = -K_temp[0, 3];
K[1, 0] = -K_temp[1, 0];
K[1, 1] = 1.0f / mass - K_temp[1, 1];
K[1, 2] = -K_temp[1, 2];
K[1, 3] = -K_temp[1, 3];
K[2, 0] = -K_temp[2, 0];
K[2, 1] = -K_temp[2, 1];
K[2, 2] = 1.0f / mass - K_temp[2, 2];
K[2, 3] = -K_temp[2, 3];
K[3, 0] = -K_temp[3, 0];
K[3, 1] = -K_temp[3, 1];
K[3, 2] = -K_temp[3, 2];
K[3, 3] = 1.0f / mass - K_temp[3, 3];
Vector3 J = K.inverse.MultiplyVector(vi_new - vi);
//1.2 更新v and w
v += 1.0f / mass * J;
w += I.inverse.MultiplyVector(Vector3.Cross(Rri, J));
}
// Update is called once per frame
void Update()
{
//Game Control
if (Input.GetKey("r"))
{
transform.position = new Vector3(0, 0.6f, 0);
transform.rotation = Quaternion.Euler(0.0f, 0.0f, 0.0f);
launched = false;
}
if (Input.GetKey("l"))
{
v = new Vector3(5, 2, 0);
w = new Vector3(0, 1, 0); // angular velocit
launched = true;
}
if (launched == false)
return;
// Part I: Update velocities
// -- linear velocity
v = v + dt * gravity;
v *= linear_decay;
// -- angular velocity
w *= angular_decay;
//Part II: Collision Impulse
Collision_Impulse(new Vector3(0, 0.01f, 0), new Vector3(0, 1, 0));
Collision_Impulse(new Vector3(2, 0, 0), new Vector3(-1, 0, 0));
// Part III: Update position & orientation
//Update linear status
Vector3 x = transform.position;
x += dt * v;
//Update angular status
Quaternion q = transform.rotation;
Vector3 wt = 0.5f * dt * w;
Quaternion dq = new Quaternion(wt.x, wt.y, wt.z, 0.0f) * q;
q.Set(q.x + dq.x, q.y + dq.y, q.z + dq.z, q.w + dq.w);
// Part IV: Assign to the object
transform.position = x;
transform.rotation = q;
}
}
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