机器学习笔记之指数族分布——最大熵角度观察指数族分布(一)最大熵思想

发布于:2023-01-24 ⋅ 阅读:(9) ⋅ 点赞:(0) ⋅ 评论:(0)

引言

上一节介绍了指数族分布的通式以及共轭性质,本节将通过代码示例共轭性质,并介绍最大熵思想

补充:指数族分布的共轭性质

指数族分布的共轭性质主要面对贝叶斯估计中分母积分难的问题:
P ( θ ∣ x ) = P ( x ∣ θ ) P ( θ ) ∫ θ P ( x ∣ θ ) P ( θ ) d θ P(\theta \mid x) = \frac{P(x \mid \theta)P(\theta)}{\int_{\theta}P(x \mid \theta)P(\theta)d\theta} P(θx)=θP(xθ)P(θ)dθP(xθ)P(θ)

因此,共轭性质的具体表述逻辑如下:

  • 如果概率模型(似然函数) P ( x ∣ θ ) P(x \mid \theta) P(xθ)分布 存在一个共轭的先验分布 P ( θ ) P(\theta) P(θ),那么效果是:后验分布 P ( θ ∣ x ) P(\theta \mid x) P(θx)与先验分布 P ( θ ) P(\theta) P(θ)会形成相同分布形式
    P ( θ ∣ x ) ∝ P ( x ∣ θ ) P ( θ ) P(\theta \mid x) \propto P(x \mid \theta)P(\theta) P(θx)P(xθ)P(θ)

示例:
假设似然概率二项式分布,关于似然概率 P ( x ∣ θ ) P(x \mid \theta) P(xθ)中的参数 θ \theta θ的概率 P ( θ ) P(\theta) P(θ)服从Beta分布,那么后验概率的分布 P ( θ ∣ x ) P(\theta \mid x) P(θx)同样也服从Beta分布,但该分布与 P ( θ ) P(\theta) P(θ)服从的Beta分布不一定相同
具体代码如下:
首先构建一个二项分布的随机数,执行120次试验,并将试验结果归一化为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)范围内的结果

import nunmpy as np

def get_Binormal():
    outcome = np.random.binomial(13001,0.5,120)
    # outcome = np.random.binormal(13001,0.5,12000)
    max_out = max(outcome)
    return [(i / max_out) for i in outcome]

返回结果如下:
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可能只能看出一点规律,如果将试验次数增加至12000次,再次观察分布结果:
请添加图片描述
此时发现,这明显是高斯分布的随机点图像。当观测序列足够大时,二项分布近似于高斯分布传送门。回归正题,接下来构建一个关于Beta分布的随机数

from scipy.stats import beta

def get_beta(a,b,sample_num):
    x = np.linspace(0,1,sample_num)
    return beta.pdf(x,a,b)
    
out = get_beta(1.4,1.2,120)

返回随机数图像结果如下:
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最后将两组随机数对应元素做乘法,观察结果:
请添加图片描述
如果两种分布采样次数越多,其乘法分布结果就越稳定。下面是采样2000次时的结果图像:
请添加图片描述
完整代码如下:

from scipy.stats import beta
import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def get_Binormal(rate):

    outcome = np.random.binomial(13001,rate,200)
    max_out = max(outcome)
    return [(i / max_out) for i in outcome]


def get_beta(a,b,sample_num):

    x = np.linspace(0,1,sample_num)
    return beta.pdf(x,a,b)


if __name__ == '__main__':
    out = get_beta(1.4,1.2,200)
    x = [i for i in range(len(out))]

    bi_out = get_Binormal(rate=0.01)
    bi_out_ = get_Binormal(rate=0.99)

    final_out = out * bi_out
    final_out_ = out * bi_out_

    plt.scatter(x,out,s=1)
    plt.scatter(x,final_out,s=1)
    plt.scatter(x,final_out_,s=1)
    plt.show()

最大熵思想介绍

信息量

信息本身就伴随着 不确定性(或者说信息自身存在随机性)。而信息量大小表示信息消除不确定性的程度

  • 如果某个事件发生的概率 p = 1 p=1 p=1恒成立,例如:太阳从东方升起。这条信息的不确定性为0,自然不存在消除不确定性的说法
    从该例子中发现,至少要存在不确定性,才有机会谈到不确定性消除的概念
  • 另一个例子:我中了5000万。由于中奖的概率极低,假设是99.9%(当然实际上比该数值还要低),那么这条信息就 排除 了99.9%概率的事件——我没有中5000万,这可以看出这条信息消除不确定性的程度很高

从上述两个例子可以发现,信息消除不确定性的程度信息本身发生的概率成反比关系

信息量的公式表示如下:
h ( x ) = log ⁡ 1 p ( x ) = − log ⁡ p ( x ) h(x) = \log \frac{1}{p(x)} = -\log p(x) h(x)=logp(x)1=logp(x)
其中, h ( x ) h(x) h(x)表示事件 x x x的信息量,而 p ( x ) p(x) p(x)表示事件 x x x发生的概率。将上述两个例子带入到上式中:

  • x 1 → x_1\to x1{“太阳从东方升起”}, p ( x 1 ) = 1 , h ( x 1 ) = log ⁡ 1 1 = 0 p(x_1)=1,h(x_1) = \log \frac{1}{1} = 0 p(x1)=1,h(x1)=log11=0
  • x 2 → x_2 \to x2{“我中了5000万”}, p ( x 2 ) = 0.001 , h ( x 2 ) = log ⁡ 1 0.001 ≈ 6.907 p(x_2)=0.001,h(x_2) = \log \frac{1}{0.001} \approx 6.907 p(x2)=0.001,h(x2)=log0.00116.907

该公式完全符合上述逻辑关系。

信息量的角度,事件的信息量事件发生概率分布下的期望。记事件 x x x的熵为 H ( x ) \mathcal H(x) H(x),其具体表示方法如下:
H ( x ) = E p ( x ) [ h ( x ) ] = E p ( x ) [ log ⁡ 1 p ( x ) ] \begin{aligned} \mathcal H(x) & = \mathbb E_{p(x)}\left[h(x)\right] \\ & = \mathbb E_{p(x)}\left[\log\frac{1}{p(x)}\right] \end{aligned} H(x)=Ep(x)[h(x)]=Ep(x)[logp(x)1]

  • 如果概率分布 p ( x ) p(x) p(x)连续型随机变量 H ( x ) \mathcal H(x) H(x)可以表示为:
    H ( x ) = − ∫ x p ( x ) log ⁡ p ( x ) d x \mathcal H(x) =- \int_{x} p(x)\log p(x) dx H(x)=xp(x)logp(x)dx
  • 如果概率分布 p ( x ) p(x) p(x)离散型级变量 H ( x ) \mathcal H(x) H(x)可以表示为:
    H ( x ) = − ∑ x p ( x ) log ⁡ p ( x ) \mathcal H(x) = - \sum_{x} p(x) \log p(x) H(x)=xp(x)logp(x)
  • 更细致的理解思路:
    假设某数据集合 X \mathcal X X包含数量为 N N N的样本:
    X = { x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) , ⋯   , x ( N ) } \mathcal X = \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},\cdots,x^{(N)}\} X={x(1),x(2),x(3),,x(N)}
    关于数据集合的 H ( X ) \mathcal H(\mathcal X) H(X)表示如下:
    H ( X ) = − ∑ i = 1 N p ( x ( i ) ) log ⁡ p ( x ( i ) ) \mathcal H(\mathcal X) = -\sum_{i=1}^N p(x^{(i)})\log p(x^{(i)}) H(X)=i=1Np(x(i))logp(x(i))

最大熵思想

实际意义的角度,可以表示信息可能性的一种衡量,而最大熵思想具体意义是指:如果对某一数据集合 X \mathcal X X的概率模型 P ( x ∣ θ ) P(x \mid \theta) P(xθ)未知的情况下,在学习概率模型的过程中,熵最大的模型是最优模型;如果概率模型 P ( x ∣ θ ) P(x\mid \theta) P(xθ)存在约束条件,则满足约束条件下熵最大的模型是最优模型

最大熵思想的核心:等可能
什么叫等可能?这是最大熵的理想状态:希望概率模型中各样本以相同概率的形式出现,此时的熵最大
但是概率分布 我们说的不算,它是概率模型自身性质产生的。换个思路,概率模型的概率分布是客观存在的,不受人的意志变化而变化。因此,最大熵的出现为另外一种思路提供了一种有效工具

虽然不能改变概率分布,无论概率分布是什么,我们总希望这个概率分布能够涵盖到更多数量的样本,这种概率分布更加泛化、更大程度地对概率模型中所有样本进行使用

至此,我们继续观察基于数据集合 X \mathcal X X的公式,将公式展开:
H ( X ) = ∑ i = 1 N p ( x ( i ) ) log ⁡ 1 p ( x ( i ) ) = p ( x ( 1 ) ) log ⁡ 1 p ( x ( 1 ) ) + p ( x ( 2 ) ) log ⁡ 1 p ( x ( 2 ) ) + ⋯ + p ( x ( N ) ) log ⁡ 1 p ( x ( N ) ) \begin{aligned} \mathcal H(\mathcal X) & = \sum_{i=1}^N p(x^{(i)})\log \frac{1}{p(x^{(i)})} \\ & = p(x^{(1)})\log \frac{1}{p(x^{(1)})} + p(x^{(2)})\log \frac{1}{p(x^{(2)})} + \cdots +p(x^{(N)})\log \frac{1}{p(x^{(N)})} \end{aligned} H(X)=i=1Np(x(i))logp(x(i))1=p(x(1))logp(x(1))1+p(x(2))logp(x(2))1++p(x(N))logp(x(N))1

观察任意一项,发现概率 p ( x ( i ) ) p(x^{(i)}) p(x(i)) log ⁡ 1 p ( x ( i ) ) \log \frac{1}{p(x^{(i)})} logp(x(i))1之间的 单调性完全相反:我们画出 p log ⁡ 1 p p \log\frac{1}{p} plogp1 p ∈ ( 0 , 1 ) p \in(0,1) p(0,1)范围内的图像如下:
请添加图片描述
通过观察发现,即便不知道概率模型的概率分布,但是熵的每一项取值有界的(单个项的最优解不超过0.4)。因此,用通俗的话说,想通过聚焦个别样本预测概率分布使熵达到最大是行不通的
这种预测方式的熵反而很小——仅照顾到个别样本,而更多的样本的熵值被放弃掉了,预测的概率分布结果自然是很局限的,不能代表所有样本。

因此,更一般的思想是希望预测的概率分布尽可能照顾到更多样本,高的不要太高,低的不要太低,对应的 p ( x ) log ⁡ 1 p ( x ) p(x) \log \frac{1}{p(x)} p(x)logp(x)1在各样本间差距尽量的小,从而使每个样本结果都有一个比较不错的熵值,从而使熵达到最大

综上,最大熵的目的是尽可能的抹除各样本间被选择概率的区别性

最大熵思想示例

目标:如果对数据集合 X \mathcal X X的概率模型 p ( x ∣ θ ) p(x \mid \theta) p(xθ)未知的情况下,观察 什么类型的概率分布使熵达到最大

准备工作:

  • 假设样本集合 X \mathcal X X中样本 x x x离散型随机变量
  • 定义样本 x x x的概率分布:
    由于是离散型随机变量,这里使用1,2,3...表示选择的离散信息,即维度;
    并满足:
    ∑ i = 1 k p i ( x ) = 1 \sum_{i=1}^k p_i(x) = 1 i=1kpi(x)=1
x x x 1 2 k k k
p p p p 1 ( x ) p_1(x) p1(x) p 2 ( x ) p_2(x) p2(x) p k ( x ) p_k(x) pk(x)

推导过程:
上述问题可看作优化问题

  • 优化函数: max ⁡ H [ P ( x ) ] = max ⁡ − ∑ i = 1 k p i ( x ) log ⁡ p i ( x ) \max \mathcal H[P(x)] = \max - \sum_{i=1}^k p_i(x) \log p_i(x) maxH[P(x)]=maxi=1kpi(x)logpi(x)
  • 条件: ∑ i = 1 k p i ( x ) = 1 \sum_{i=1}^k p_i(x) = 1 i=1kpi(x)=1

整理:
{ max ⁡ H [ P ( x ) ] = max ⁡ − ∑ i = 1 k p i ( x ) log ⁡ p i ( x ) = min ⁡ ∑ i = 1 k p i ( x ) log ⁡ p i ( x ) s . t . ∑ i = 1 k p i ( x ) = 1 \begin{cases} \max \mathcal H[P(x)] = \max - \sum_{i=1}^k p_i(x) \log p_i(x) = \min \sum_{i=1}^k p_i(x) \log p_i(x)\\ s.t.\quad\sum_{i=1}^k p_i(x) = 1 \end{cases} {maxH[P(x)]=maxi=1kpi(x)logpi(x)=mini=1kpi(x)logpi(x)s.t.i=1kpi(x)=1
P P P为表示概率分布向量:
P ( x ) = ( p 1 ( x ) p 2 ( x ) ⋮ p k ( x ) ) P(x) = \begin{pmatrix} p_1(x) \\ p_2(x) \\ \vdots \\ p_k(x) \end{pmatrix} P(x)= p1(x)p2(x)pk(x)

目标是求解 k k k最优概率分布,使得 H [ P ( x ) ] \mathcal H[P(x)] H[P(x)]最大。
p ^ i = arg ⁡ max ⁡ p i ( x ) H [ P ( x ) ] = arg ⁡ min ⁡ p i ( x ) ∑ i = 1 k p i ( x ) log ⁡ p i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , k ) \begin{aligned} \hat p_i & = \mathop{\arg\max}\limits_{p_i(x)} \mathcal H[P(x)] \\ & = \mathop{\arg\min}\limits_{p_i(x)} \sum_{i=1}^kp_i(x) \log p_i(x) (i = 1,2,\cdots,k) \end{aligned} p^i=pi(x)argmaxH[P(x)]=pi(x)argmini=1kpi(x)logpi(x)(i=1,2,,k)
该式理解为:分别取到 p ^ 1 ( x ) , p ^ 2 ( x ) , . . . , p ^ k ( x ) \hat p_1(x),\hat p_2(x),...,\hat p_k(x) p^1(x),p^2(x),...,p^k(x),构成 ( p ^ 1 ( x ) p ^ 2 ( x ) ⋮ p ^ k ( x ) ) \begin{pmatrix} \hat p_1(x) \\ \hat p_2(x) \\ \vdots \\ \hat p_k(x) \end{pmatrix} p^1(x)p^2(x)p^k(x) 使得 H [ P ( x ) ] \mathcal H[P(x)] H[P(x)]最大。
上述描述是 带一个约束,并且是等号约束的优化问题,因此,使用拉格朗日乘数法进行求解。

  • 定义拉格朗日函数:
    L ( P ( x ) , λ ) = ∑ i = 1 k p i ( x ) log ⁡ p i ( x ) + λ ( 1 − ∑ i = 1 k p i ( x ) ) \mathcal L(P(x),\lambda) = \sum_{i=1}^k p_i(x) \log p_i(x) + \lambda (1 - \sum_{i=1}^k p_i(x)) L(P(x),λ)=i=1kpi(x)logpi(x)+λ(1i=1kpi(x))
  • 拉格朗日函数 L ( P ( x ) , λ ) \mathcal L(P(x),\lambda) L(P(x),λ)每一维度的概率分布 p i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , k ) p_i(x)(i=1,2,\cdots,k) pi(x)(i=1,2,,k)偏导
    由于只对 p i ( x ) p_i(x) pi(x)求解偏导,因此 p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , ⋯   , p i − 1 ( x ) , p i + 1 ( x ) , ⋯   , p k ( x ) p_1(x),p_2(x),\cdots,p_{i-1}(x),p_{i+1}(x),\cdots,p_k(x) p1(x),p2(x),,pi1(x),pi+1(x),,pk(x)都是常数。
    ∂ L ∂ p i ( x ) = log ⁡ p i ( x ) + p i ( x ) ⋅ 1 p i ( x ) − λ = log ⁡ p i ( x ) + 1 − λ \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal L}{\partial p_i(x)} & = \log p_i(x) + p_i(x) \cdot \frac{1}{p_i(x)} - \lambda \\ & = \log p_i(x) + 1 - \lambda \end{aligned} pi(x)L=logpi(x)+pi(x)pi(x)1λ=logpi(x)+1λ
  • 求极值解:令 ∂ L ∂ p i ( x ) ≜ 0 \frac{\partial \mathcal L}{\partial p_i(x)} \triangleq 0 pi(x)L0
    log ⁡ p ^ i ( x ) + 1 − λ = 0 p ^ i ( x ) = e λ − 1 \log \hat p_i(x) + 1 - \lambda = 0 \\ \hat p_i(x) = e^{\lambda - 1} logp^i(x)+1λ=0p^i(x)=eλ1

由于 λ \lambda λ是拉格朗日系数,是常数;因此对其他 p − i ( x ) p_{-i}(x) pi(x)求导同样会得到该常数
概率的最优解和概率分布下标(维度)之间没有任何关系。
p − i ( x ) p_{-i}(x) pi(x)表示除去 p i ( x ) p_i(x) pi(x)的其他维度的概率分布
p ^ 1 ( x ) = p ^ 2 ( x ) = ⋯ = p ^ k ( x ) = e λ − 1 \hat p_1(x) = \hat p_2(x) = \cdots = \hat p_k(x) = e^{\lambda - 1} p^1(x)=p^2(x)==p^k(x)=eλ1
又因为:
∑ i = 1 k p ^ i ( x ) = 1 \sum_{i=1}^k \hat p_i(x) = 1 i=1kp^i(x)=1
因此:
p ^ 1 ( x ) = p ^ 2 ( x ) = ⋯ = p ^ k ( x ) = 1 k \hat p_1(x) = \hat p_2(x) = \cdots = \hat p_k(x) = \frac{1}{k} p^1(x)=p^2(x)==p^k(x)=k1
即样本 x x x选择任意一个离散信息的概率是相同的,因此, P ( x ) P(x) P(x)均匀分布

至此,在概率未知的情况下——不清楚 p i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , k ) p_i(x) (i=1,2,\cdots,k) pi(x)(i=1,2,,k)的具体结果是什么,我们求得均匀分布是熵最大的分布。验证了上面的等可能思想

相关参考:
二项分布与正态分布的关系是怎样的?
机器学习-白板推导系列(八)-指数族分布(Exponential Family Distribution)