雅可比行列式：它究竟是如何工作的？
一、说明
关于雅各比，如果你熟悉任何多变量微积分，你可能听说过这个术语。老实说，我第一次了解雅可比矩阵时，我根本不明白它是如何工作的，但是知道雅可比矩阵在整个多变量微积分中被大量使用，并且将来会有文章我想写使用它，在本文中，我最终将尝试给出我最好的解释。
二、什么是雅可比行列式？
术语“雅可比”通常表示雅可比矩阵和行列式，它是为具有相同数量变量的有限数量的函数定义的。这里，每一行由同一函数相对于变量的一阶偏导数组成。雅可比矩阵可以是任何形式。它可以是方阵（行数和列数相等）或矩形矩阵（行数和列数不相等）。
2.1 何为雅可比矩阵
对于函数 f: ℝ 3 → ℝ，行向量在 p 处的导数定义为：
给定矩阵的雅可比矩阵如下：
上述雅可比矩阵的行列式称为雅可比。
2.2 雅可比行列式
在雅可比矩阵中，如果 m = n = 2，且函数 f: ℝ 3 → ℝ 定义为：
函数，f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))
因此，雅可比矩阵可写为：
因此，雅可比矩阵的行列式是
2.3 极坐标和球坐标变换
对于普通笛卡尔到极坐标变换，方程可以写为：
x = r cos θ
y = r sin θ
雅可比行列式写为：
对极坐标方程使用这些偏微分，我们得到，
2.4 雅可比行列式的例子
问题：设 x (u, v) = u 2 – v 2 , y (u, v) = 2 uv。求雅可比 J (u, v)。
解决方案：
给定 :
我们知道，
J (u, v) = 4u 2 + 4v 2
因此，J(u,v) 为
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三、推导
两个变量的雅可比行列式
以德国数学家卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅各比的名字命名，在经历变量变化后评估多个积分时，需要雅可比行列式（或只是雅可比行列式）。
要理解雅可比矩阵，考虑单变量演算中的类似情况可能会有所帮助，其中使用变量的变化。假设我们有某个函数 f（x） 的积分，我们希望经历 x = g（u） 变量的变化。现在，使用 x = g（u） 的事实，我们可以得到以下等式：
如果重新排列，将得到 dx = g'（u）du。将其代入原始积分，我们将得到以下内容：
必须乘以解释缩放的额外g'（u）项本质上就是雅可比项，但在多变量微积分中。事实上，经历变量变化的双积分将如下所示：
其中J（u，v）是所谓的雅可比。然而，与g'（u）不同的是，目前还不清楚如何确定如何计算雅可比矩阵，因此我们必须为它推导和表达。为此，我们首先需要意识到这样一个事实，即雅可比矩阵出现在用du和dv重写无穷小面积dydx（或只是dA）时。因此，我们必须以某种方式用du和dv来表示这个无穷小的面积dA。
四、推导雅可比行列式
首先，从 uv 坐标系开始，然后查看在坐标变化下，以 du 和 dv 表示的无穷小区域如何转换为 xy 坐标系可能会有所帮助。这样，我们最终将在xy坐标系中获得一个无穷小的区域，但就uv坐标系而言，这正是我们想要的。
因此，我们可以首先考虑一个边长为 du 和 dv 的无限小矩形。我们可以用两个向量（0， dv）和（du， 0）来表示这个矩形，我们可以简单地观察这些向量如何在坐标变化下缩放，以在xy平面上创建一个新的无穷小区域（通常是平行四边形）。这两个向量可以在下图的左侧看到：
现在，我们必须弄清楚两个向量是如何由于坐标变化而变换的。首先，我们可以看看蓝色向量（du，0）。认识到 xy 坐标系中向量的两个输入是 x 坐标和 y 坐标，我们所要做的就是弄清楚每个 x 和 y 坐标由于 u 的无限小变化而变化了多少。这可以简单地使用偏导数来完成，因为由于 u 的微小变化而发生的 x 的微小变化将刚好等于 x 相对于 u 乘以 du 的偏导数。使用 y 坐标也可以这样做，将两者结合起来将得到上图右侧所示的新蓝色矢量。使用完全相同的方法，可以找到红色向量 （0， dv） 所经历的变换，以获得 xy 平面中的新红色向量，如上所示。
现在可能很清楚为什么我们决定在向量方面这样做，因为我们刚刚创建的新无穷小面积的面积可以通过使用由两个向量创建的平行四边形的面积等于这两个向量的叉积的大小来计算。因此，利用这个事实，我们的新无穷小面积可以表示如下：
请注意，在最后一步中，我切换了行列式中的两个偏导数，但这实际上不会改变最终值，正如您可以确认的那样。回到dxdy = dA = J（u， v）dudv的事实，我们可以认识到上面显示的行列式是这个J（u，v）项，也称为雅可比项。虽然这种推导远非严谨，但我希望它能提供一些关于雅可比派来自哪里以及它实际做什么的直觉。
五、极坐标的雅可比坐标
现在我们知道了雅可比矩阵的表达式，我想以极坐标中雅可比矩阵的示例计算结束。对于那些熟悉多变量微积分的人来说，你可能已经知道这只是r，但我们可以使用我们刚刚推导的行列式来证明这一点。
首先，我们必须用极坐标 r 和 θ 来表示 x 和 y。这可以按如下方式完成：
现在，我们可以计算计算雅可比矩阵所需的四个偏导数：
最后我们可以将这四个偏导数代入行列式并使用毕达哥拉斯恒等式进行简化，如下所示：
因此，我们刚刚确认极坐标的雅可比行列式确实只是 r，这是使用雅可比行列式的行列式完成的。虽然极坐标是我使用的示例，但这可以与所有其他有效的坐标变化一起使用，并且如果我们要使用三重积分，则存在类似的雅可比行列式，它具有与中的三个坐标中的每一个相对应的三行和三列两个坐标系。
Determinants and Matrices (Definition, Types, Properties & Example) (byjus.com)