施密特正交化QR分解求逆矩阵与MATLAB仿真

发布于：2024-03-29 ⋅ 阅读:(39) ⋅ 点赞:(0)

利用Schmidt 正交化QR分解求逆矩阵与MATLAB仿真

目录

二、Q矩阵求逆

三、R矩阵(上三角)求逆

四、A矩阵求逆

五、计算量分析

六、MATLAB仿真

七、参考资料

前言

在线性代数中，QR 分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵（Q）与一个上三角矩阵（R）的乘积的过程。由于Q是正交矩阵，那么其逆矩阵就等于其共轭转置。求逆矩阵，分解之后便只需要去求R的逆矩阵进而就能求出待求矩阵的逆矩阵。

提示：以下是本篇文章正文内容，希望能帮助到各位，转载请附上链接。

一、QR分解

若 $\mathbf{A}=[\boldsymbol{\alpha }_1\,\boldsymbol{\alpha}_2\,\cdots\,\boldsymbol{\alpha}_N]$ 是一个N×N阶列无关矩阵，则矩阵A可进行QR分解。

令 $\boldsymbol\beta_{1}=\boldsymbol\alpha_1\quad\left|\boldsymbol\beta_1\right|=\operatorname{norm}(\boldsymbol\beta_1)$

$\mathcal{\boldsymbol\beta}_2=\boldsymbol\alpha_2-\frac{\left(\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta_1\right)}{\left|\boldsymbol\beta_1\right|^2}\mathcal{\boldsymbol\beta }_1\quad\left|\boldsymbol\beta_2\right|=\mathrm{norm}(\mathcal{\boldsymbol\beta }_2)$

$\boldsymbol\beta_3=\boldsymbol\alpha_3-\frac{(\boldsymbol\alpha_3,\boldsymbol\beta_2)}{|\boldsymbol\beta_2|^2}\boldsymbol\beta_2-\frac{(\boldsymbol\alpha_3,\boldsymbol\beta_1)}{|\boldsymbol\beta_1|^2}\boldsymbol\beta_1\quad|\boldsymbol\beta_3|=\mathrm{norm}(\boldsymbol\beta_3)$

$\textbf{\vdots }$

其他依次计算。其中norm表示求2范数。

那么可以得到矩阵Q

$\mathbf{Q}=\left(\frac{\mathbf{\boldsymbol\beta}_1}{\mid\mathbf{\boldsymbol\beta}_1\mid},\frac{\mathbf{\boldsymbol\beta}_2}{\mid\mathbf{\boldsymbol\beta}_2\mid},\cdots,\frac{\mathbf{\boldsymbol\beta}_N}{\mid\mathbf{\boldsymbol\beta}_N\mid}\right)$

其中Q满足 $\textbf{Q}^{H}\textbf{Q}=\textbf{I}$ ， $[\;]^{H}$ 表示共轭转置。R可以由以下式子得到

$\textbf{R}=\textbf{Q}^{H}\textbf{A}$

因为 $\mathbf{A}=\mathbf{QR}$ ，则 $\mathbf{Q}^H\mathbf{A}=\mathbf{Q}^H\mathbf{QR}=\mathbf{R}\Rightarrow\mathbf{R}=\mathbf{Q}^H\mathbf{A}$ 。

二、Q矩阵求逆

由于Q是正交矩阵（酉矩阵），所以 $\textbf{Q}^{-1}=\textbf{Q}^{H}$ ，即

$\textbf{Q}^{-1}=\textbf{Q}^{H}=\begin{bmatrix} Q_{11}^{*} &Q_{21}^{*} & \cdots &Q_{N1}^{*} \\ Q_{12}^{*} &Q_{22}^{*} & \cdots &Q_{N2}^{*} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ Q_{1N}^{*} & Q_{2N}^{*} & \cdots & Q_{NN}^{*} \end{bmatrix}$

其中 $[\;]^{*}$ 表示共轭。

三、R矩阵(上三角)求逆

R是个上三角矩阵，求逆方法可以参照下面这篇文章。

一种基于约化因子上三角矩阵求逆方法与MATLAB仿真：http://t.csdnimg.cn/aHPmd

四、A矩阵求逆

由于A=QR，所以 $\textbf{A}^{-1}=\textbf{QR}^{-1}=\textbf{R}^{-1}\textbf{Q}^{-1}=\textbf{R}^{-1}\textbf{Q}^{H}$ 。

五、计算量分析

计算 $\boldsymbol\beta _{n}$ 需要的乘法次数为2N(n-1)，除法次数为n-1，加法次数为

(N-1)(n-1)+N(n-1)=(2N-1)(n-1)

计算 $\left | \boldsymbol\beta _{n} \right |$ 需要的乘法次数为N，加法次数为N-1，还需要一次开方。

注意计算 $\boldsymbol\beta _{n}$ 时直接用的 $\left | \boldsymbol\beta _{n} \right |$ 的值，不需要对其统计运算量。

计算所有的 $\boldsymbol\beta _{n}$ 需要的乘法次数为：

$\sum_{n=1}^N(2N(\text{n-}1))=N^2(N-1)$

加法次数为：

$\sum_{n=1}^N\left((2N-1)(n-1)\right)=\frac{(2N-1)N(N-1)}2$

除法次数为：

$\sum_{n=1}^N(n-1)=\frac{N(N-1)}2$

计算所有的 $\left | \boldsymbol\beta _{n} \right |$ 需要的乘法次数为 $N^{2}$ ，加法次数为N(N-1)，还需要N次开方。

根据

$\mathbf{Q}=\left(\frac{\mathbf{\boldsymbol\beta}_1}{\mid\mathbf{\boldsymbol\beta}_1\mid},\frac{\mathbf{\boldsymbol\beta}_2}{\mid\mathbf{\boldsymbol\beta}_2\mid},\cdots,\frac{\mathbf{\boldsymbol\beta}_N}{\mid\mathbf{\boldsymbol\beta}_N\mid}\right)$

计算Q还需要 $N^{2}$ 次除法。

计算 $\mathbf{R}=\mathbf{Q}^{H}\mathbf{A}$ （由于R是三角矩阵，相比于普通矩阵乘法，运算量会小）需要的乘法次数为：

$\frac{N(N+1)}2N$

加法次数为：

$\frac{N^2(N-1)}2$

然后还需要计算R的逆矩阵，根据 http://t.csdnimg.cn/aHPmd 中的方法，需要的乘法次数为：

$\frac{N^3+3N^2-4N}6$

加法次数为：

$\frac{N^3-3N^2+2N}6$

除法次数为：

$N$

最后求 $\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{Q}^H$ （由于 $\textbf{R}^{-1}$ 是三角矩阵，相比于普通矩阵乘法，运算量会小），

需要的乘法次数为：

$\frac{N(N+1)}2N$

加法次数为：

$\frac{N^2(N-1)}2$

所以通过QR分解求解逆矩阵总共需要的运算次数如下：

乘法：

$(N^3-N^2)+N^2+\frac{(N^3+N^2)}2+\frac{N^3+3N^2-4N}6+\frac{(N^3+N^2)}2=\frac{10N^3+9N^2-N}6$

加法：

$\begin{aligned} &\frac{(2N-1)N(N-1)}2+N(N-1)+\frac{N^2(N-1)}2+ &\frac{N^3-3N^2+2N}6+\frac{N^2(N-1)}2=\frac{13N^3-12N^2-N}6 \end{aligned}$

除法：

$\frac{N(N-1)}2+N^2+N=\frac{3N^2+N}2$

开方：

N

六、MATLAB仿真

以MATLAB自带求逆函数inv为对比，仿真得出以下结果：

七、参考资料

参考资料：https://download.csdn.net/download/m0_66360845/89029773

总结

以上介绍了一种基于施密特正交化将矩阵分解为正交Q矩阵和上三角矩阵R，进而求解逆矩阵的方法与MATLAB仿真。对于Q矩阵而言，其列向量是标准正交的，也就是说列向量的模长为1，并且彼此正交，在复数域中，Q矩阵又被称为酋矩阵。小伙伴们认真看完此文章必定有所收获。

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