【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第四章：连续时间傅里叶变换

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【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第一章：信号与系统
【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第二章：线性时不变系统
【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第三章：周期信号的傅里叶级数表示

一、非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

1.1 非周期信号傅里叶变换的导出

  在建立非周期信号的傅里叶变换时，可以把非周期信号当成一个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里叶级数表示式的极限特性。现在考虑一个信号$x(t)$，它具有有限持续期，即对某个$T_1$，当$|t|>T_1$时，$x(t)=0$，如下图所示：

  从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号$\tilde{x}(t)$，使$x(t)$就是$\tilde{x}(t)$的一个周期，如图下图所示：

  当把$T$选得比较大时，$\tilde{x}(t)$就在一个更长的时段上与$x(t)$相一致，并且随着$T\to \infty$，对任意有限时间$t$值而言，$\tilde{x}(t)$就等于$x(t)$。再由第三章的连续时间周期函数的傅里叶级数公式可得：
$$\tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$

  其中${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$，由于在$|t|<\frac{T}{2}$时，$\tilde{x}(t)=x(t)$，其它情况下$x(t)=0$，所以上式可以写成：

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$
  因此，定义$X(j\omega )$为：
$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$
  此时系数$a_k$可以写成
$$a_k=\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)$$
   由$\tilde{x}(t)$的傅里叶级数公式和上式结合可得：
$$\tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}$$
  又因为$\frac{2\pi }{T}={\omega }_0$，所以上式又可以表示为：
$$\tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}{\omega }_0$$
  随着$T\to \infty$，$\tilde{x}(t)$趋近与$x(t)$，上式的极限形式就变成了$x(t)$的表达式。最终：
$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$
$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
  称为傅里叶变换对，函数$X(j\omega )$称为$x(t)$的傅里叶变换。一个非周期信号的傅里叶变换$X(j\omega )$通常称为$x(t)$的频谱。

1.2 傅里叶变换的收敛

  需要满足狄里赫利条件：

• 条件一：$x(t)$绝对可积，即：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t)|dt<\infty$$

• 条件二：在任意有限区间内，$x(t)$只有有限个最大值和最小值
• 条件三：在任意有限区间内，$x(t)$有有限个不连续点，并且在这些不连续点上都必须是有限值。因此，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在傅里叶变换。

1.3 几个常见的典型傅里叶变换对

1. 单边指数信号：
   $$x(t)=e^{-at}u(t)，a>0$$
   

其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )={\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-j\omega t}dt=-\frac{1}{a+j\omega }{e}^{-(a+j\omega )t}{|}_0^{\infty }=\frac{1}{a+j\omega }，a>0$$

2. 单位冲击函数：
   $$x(t)=\delta (t)$$
   

其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=1$$

3. 双边指数信号：
   $$x(t)=e^{-a|t|}，a>0$$
   

其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a|t|}{e}^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^0{e}^{at}{e}^{-j\omega t}dt+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}{e}^{-j\omega t}dt$$
$$={\int }_{-\infty }^0{e}^{(a-j\omega )t}dt+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-(a+j\omega )t}dt$$
$$=\frac{1}{a-j\omega }+=\frac{1}{a+j\omega }$$
$$=\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$$

4. 抽样函数：
   $$x(t)=\frac{sin({\omega }_{c}t)}{\pi t}$$
   

其傅里叶变换$X(j\omega )$：

X ( j ω ) = { 0 ，其它 1 ， − ω c < ω < w c X(jω)=\lbrace_{0，其它}^{1，-ω_c<ω<w_c} X(jω)={0，其它1，−ωc​<ω<wc​​

5. 冲击偶函数：
   $$x(t)={\delta }^{{}^{\prime }}(t)$$

根据冲击偶函数的取样性质：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t){\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=-x^{{}^{\prime }}(0)$$
所以其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{{}^{\prime }}(t)e^{-j\omega t}dt$$

$$=-\frac{d(e^{-j\omega t})}{dt}{|}_{t=0}$$
$$=j\omega e^{-j\omega t}{|}_{t=0}$$
$$=j\omega$$

6. 矩形窗函数：
   x ( t ) = { 0 ，其它 E ， − τ / 2 < ω < τ / 2 x(t)=\lbrace_{0，其它}^{E，-τ/2<ω<τ/2} x(t)={0，其它E，−τ/2<ω<τ/2​
   

其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )={\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}E{e}^{-j\omega t}dt$$

$$=E\frac{1}{j\omega }{e}^{-j\omega t}{|}_{\frac{\tau }{2}}^{-\frac{\tau }{2}}$$
$$=E\frac{1}{j\omega }2jsin(\frac{\omega \tau }{2})$$
$$=\frac{2E}{\omega }sin(\frac{\omega \tau }{2})$$
$$=E\tau Sa(\frac{\tau \omega }{2})$$

7. 常数：
   $$x(t)=1$$

其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )=2\pi \delta (\omega )$$

8. 阶跃函数：

$$x(t)=u(t)$$
其傅里叶变换$X(j\omega )$：
$$X(j\omega )=\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$$

二、连续时间傅里叶变换性质

  为了方便，将$X(j\omega )$用 Γ { x ( t ) } \Gamma\{x(t)\} Γ{x(t)}表示，将$x(t)$用 Γ − 1 { X ( j ω ) } \Gamma^{-1}\{X(jω)\} Γ−1{X(jω)}表示，符号如下：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$

2.1 线性性质

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
且：
$$y(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}Y(j\omega )$$
则：
$$ax(t)+by(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}aX(j\omega )+bY(j\omega )$$

2.2 时移性质

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
则：
$$x(t-t_0)\stackrel{\Gamma }{⟷}{e}^{-j\omega t_0}X(j\omega )$$

2.3 共轭对称性

$$实偶\stackrel{\Gamma }{⟷}实偶$$
$$实奇\stackrel{\Gamma }{⟷}实奇$$
  实函数的傅里叶变换实部为偶数，虚部为奇函数。实函数的幅频特性为偶函数，相频特性为奇函数。

2.4 频移性质

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
则：
$$x(t)e^{j{\omega }_{0}t}\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j(\omega -{\omega }_0))$$

2.5 微分性质

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
则：
$$x^{{}^{\prime }}(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}j\omega X(j\omega )$$

2.6 积分性质

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
则：
$${\int }_{-\infty }^{t}x(u)du\stackrel{\Gamma }{⟷}\frac{X(j\omega )}{j\omega }+\pi X(0)\delta (\omega )$$

2.7 时间与频率尺度变换

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
则：
$$x(at)\stackrel{\Gamma }{⟷}\frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega }{a})$$

2.8 帕斯瓦尔定理

  若$x(t)$ 和$X(j\omega )$是一对傅里叶变换，则：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|X(j\omega ){|}^{2}d\omega$$
  左边是信号$x(t)$的总能量。帕斯瓦尔定理指出，这个总能量既可以按每单位时间内的能量$|x(t){|}^2$在整个时间内积分计算出来，也可以按每单位频率内的能量$|X(j\omega ){|}^2$在整个频率范围内积分而得到。因此，$|X(j\omega ){|}^2$常称为信号$x(t)$的能谱密度。

2.9 卷积性质

若：
$$x(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )$$
且：
$$y(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}Y(j\omega )$$
则：
$$x(t)\ast y(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}X(j\omega )Y(j\omega )$$

结论：时域卷积等于频域相乘

举例：在上一章我们知道了理想低通滤波的频率响应如下：

H ( j ω ) = {   0 ， ∣ ω ∣ > ω c 1 ， ∣ ω ∣ < ω c H(jω)=\{\ _{0，|ω|>ω_c} ^{1，|ω|<ω_c} H(jω)={ 0，∣ω∣>ωc​1，∣ω∣<ωc​​

所以，根据傅里叶逆变换可得单位冲击响应$h(t)$为：
$$h(t)=\frac{sin({\omega }_{c}t)}{\pi t}$$

如图所示：

  这个例子已经能够开始看到在滤波器设计中所出现的一些问题，滤波器设计中涉及到时域和频域两方面的要求。尽管理想低通滤波器确实有非常完美的频率选择性，但是它的单位冲激响应的某些特性却可能是我们不希望的。首先注意到$h(t)$在$t<0$时不是零，其结果就是理想低通滤波器不是因果的，因此在要求因果系统的应用中，就无法采用理想低通滤波器。

2.10 调制（相乘）性质

若：
$$x_1(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}{X}_1(j\omega )$$
且：
$$x_2(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}{X}_2(j\omega )$$
则：
$$x_1(t)x_2(t)\stackrel{\Gamma }{⟷}\frac{1}{2\pi }{X}_1(j\omega )\ast X_2(j\omega )$$

三、傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表

四、小结

  这一章建立了连续时间信号的傅里叶变换表示，并研究了许多很有用的性质。特别是在把一个非周期信号看成周期变得任意大时一个周期信号的极限之后。另外，周期信号本身也可以用傅里叶变换来表示，这个傅里叶变换由发生在该周期信号各谐波频率上的冲激串所组成，并且每个冲激串的面积正比于各傅里叶级数系数。傅里叶变换具有一系列重要性质，这些性质表达了不同的信号特性是如何反映到它们的变换中去的。