定义1：若集合A上的若干个一一变换对于变换的乘法作成群，则称这些群为“变换群”。
定理6（凯莱定理）：任何一个群都同构于一个变换群。
证：（1）假设(G,o)是一个群，对任意的a∈G，定义fa：G→G为：对任意的x∈G，fa(x) = a o x，对任意的y∈G，存在a^(-1) o y∈G（根据封闭性），
因为fa(a^(-1) o y) = a o (a^(-1) o y) =(适合结合律)= (a o a^(-1)) o y = e o y = y，
所以fa是满射；
令fa(x1) = fa(x2)，则a o x1 = a o x2，根据群运算的左消去律，可得x1 = x2，因此fa是单射；
因此fa是双射，从而fa是G上的一一变换。
（2）设G1 = {fa|a∈G}，证明G1关于映射的复合o作成一个变换群：
①因为显然恒等变换fe∈G1，因此G1≠∅，对任意的x∈G，以及fa,fb∈G1，有a,b∈G，且
(fa o fb)(x) = fa[fb(x)] = fa(b o x) = a o (b o x) = (a o b) o x，
有群(G,o)的封闭性，可知(a o b)∈G，因此(a o b) o x∈G1，因此满足了群公理的第一条封闭性；
②变换的复合适合结合律（详见第04篇笔记），因此也满足群公理的第二条；
③存在fe = e o x = x∈G1，因任意的x∈G，fa∈G1，有：
(fe o fa)(x) = fe[fa(x)] = fe(a o x) = e o (a o x) = (e o a) o x = a o x = fa(x)，
即fe o fa = fa，因此恒等变换fe(x)(= e o x = x)为G1中的单位元，因此也满足了群公理的第四条；
④因为(G,o)是一个群，所以任意a∈G，a在G中都存在相应的逆元a^(-1)，因此对任意的x∈G，以及fa∈G1，都存在fa^(-1)∈G1，有：
(fa^(-1) o fa)(x) = fa^(-1)[fa(x)] = fa^(-1)(a o x) = a^(-1) o (a o x) = (a^(-1) o a) o x = e o x = x，
即任意的fa∈G1，fa在G1中都存在对应的逆元fa^(-1)，因此也满足了群公理的第五条。
综上所述，根据群的第二定义或者说是第二判定定理，可得G1关于o作成一个群，又G1是由一一变换所构成的集合，所以它是一个变换群。
（3）证明G与G1同构（G≅G1）——
定义g：G→G1为对任意的a∈G，g(a) = fa，
证明g既是双射又是同态映射：
①对任意的fa∈G1，存在a∈G，使得g(a) = fa，因此g是满射；
②令g(a) = g(b)，则有fa = fb，即a o x = b o x ⇉(右消去律)⇉ a = b，
因此g是单射；
③对任意的a,b,x∈G，有g(a o b)(x) = fab(x) = (a o b) o x =(根据上面(2)中的①)= (fa o fb)(x) = [g(a) o g(b)](x)，即g(a o b) = g(a) o g(b)，因此g是一个同态映射。
因为g既是双射，又是同态映射，因此g是从G到G1的同构映射，因此G≅G1。
例1：假设r是A上的非一一变换，r会不会有一个左逆元r^(-1)，使得r^(-1) o r = ɛ(恒等变换)？（其中o为变换的复合）
解：会。比方说，设A = Z₊(正整数集)，而r(n) = n+1，r是非一一变换(因为不存在正整数n，使得r(n) = 1，即A中存在一个元素1，这个元素在A中找不到原像)，
令r^(-1)(1) = 1,r^(-1)(n) = n-1(n>1)，这个r^(-1)显然也是非一一变换，因为r^(-1)(1) = r^(-1)(2) = 1(不是单射)，
然而(r^(-1) o r)(n) = r^(-1)[r(n)] = r^(-1)(n+1) = n = ɛ(n)，
因此r存在一个左逆元r^(-1)，使得r^(-1) o r = ɛ。
例2：令A = R(实数集)，证明A的所有可写为x→a×x + b(a,b∈A，a≠0)形式的变换作成一个变换群，这个群是不是一个交换群？
证：设A的所有可写为x→a×x + b(a,b∈A，a≠0)形式的变换组成的集合为G，则存在ɛ(x) = x = 1×x + 0∈G，因此G≠∅；
（1）①对任意的f(x) = ax + b∈G，以及g(x) = cx + d∈G，有(f o g)(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx+d) + b = acx + (ad + b)∈G(实数域对加法和乘法是封闭的，因此ac∈A，ad+b∈A)，因此满足群公理的第一条封闭性；
②变换的复合适合结合律(详见第04篇笔记)，因此也满足了群公理的第二条；
③存在ɛ(x) = x = 1×x + 0∈G，对任意的f(x) = ax + b∈G，有(ɛ o f)(x) = ɛ[f(x)] = ɛ(ax+b) = ax+b = f(x)，即ɛ o f = f，因此ɛ(x)即为G中的单位元，因此也满足了群公理的第四条；
④对任意的f(x)=ax+b∈G，存在f^(-1)(x)=(1/a)x+(-b/a)，有：
(f^(-1) o f)(x) = f^(-1)[f(x)] = f^(-1)(ax+b) = 1/a×(ax+b)+(-b/a) = x = ɛ(x)，
因此对应任意的f∈G，f在G中都存在相应的左逆元，因此也满足了群公理的第五条。
综上所述，根据群的第二定义（或者说“第二判定定理”），我们可知G关于变换的复合做成一个群。
（2）可令f(x) = x+1∈G，g(x) = 2x∈G，则(f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x) = 2x+1，而(g o f)(x) = g[f(x)] = g(x+1) = 2(x+1) = 2x+2，因此(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)，所以G不是一个交换群。
（待续……）