代码随想录算法训练营第二十八天：回溯继续-EW帮帮网

代码随想录算法训练营第二十八天：回溯继续

216.组合总和III

力扣题目链接(opens new window)

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课 ****(opens new window)**** ：和组合问题有啥区别？回溯算法如何剪枝？| LeetCode：216.组合总和III ****(opens new window)**** ，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。

相对于77. 组合 **(opens new window)** ，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,…,9]。

想到这一点了，做过77. 组合 **(opens new window)** 之后，本题是简单一些了。

本题k相当于树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。

例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。

选取过程如图：

216.组合总和III

图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。

#回溯三部曲

确定递归函数参数

和77. 组合 **(opens new window)** 一样，依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。

这里我依然定义path 和 result为全局变量。

至于为什么取名为path？从上面树形结构中，可以看出，结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。

vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果

接下来还需要如下参数：

targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
k（int）就是题目中要求k个数的集合。
sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。

所以代码如下：

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex)

其实这里sum这个参数也可以省略，每次targetSum减去选取的元素数值，然后判断如果targetSum为0了，说明收集到符合条件的结果了，我这里为了直观便于理解，还是加一个sum参数。

还要强调一下，回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来，一般先写逻辑，需要啥参数了，填什么参数。

确定终止条件

什么时候终止呢？

在上面已经说了，k其实就已经限制树的深度，因为就取k个元素，树再往下深了没有意义。

所以如果path.size() 和 k相等了，就终止。

如果此时path里收集到的元素和（sum）和targetSum（就是题目描述的n）相同了，就用result收集当前的结果。

所以终止代码如下：

if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}

单层搜索过程

本题和77. 组合 **(opens new window)** 区别之一就是集合固定的就是9个数[1,…,9]，所以for循环固定i<=9

如图： 216.组合总和III

处理过程就是 path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
sum += i;
path.push_back(i);
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}

别忘了处理过程和回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！

参照关于回溯算法，你该了解这些！ **(opens new window)** 中的模板，不难写出如下C++代码：

class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
// targetSum：目标和，也就是题目中的n。
// k：题目中要求k个数的集合。
// sum：已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
// startIndex：下一层for循环搜索的起始位置。
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
}

public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear(); // 可以不加
path.clear();   // 可以不加
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};

#剪枝

这道题目，剪枝操作其实是很容易想到了，想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。

如图： 216.组合总和III1

已选元素总和如果已经大于n（图中数值为4）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。

那么剪枝的地方可以放在递归函数开始的地方，剪枝代码如下：

if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
return;
}

当然这个剪枝也可以放在调用递归之前，即放在这里，只不过要记得要回溯操作给做了。

for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
sum -= i; // 剪枝之前先把回溯做了
path.pop_back(); // 剪枝之前先把回溯做了
return;
}
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}

和回溯算法：组合问题再剪剪枝 **(opens new window)** 一样，for循环的范围也可以剪枝，i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。

最后C++代码如下：

class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
return; 
}
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
}

public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear(); // 可以不加
path.clear();   // 可以不加
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

#总结

开篇就介绍了本题与77.组合 **(opens new window)** 的区别，相对来说加了元素总和的限制，如果做完77.组合 **(opens new window)** 再做本题在合适不过。

分析完区别，依然把问题抽象为树形结构，按照回溯三部曲进行讲解，最后给出剪枝的优化。

相信做完本题，大家对组合问题应该有初步了解了。

‍

17.电话号码的字母组合

力扣题目链接(opens new window)

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

17.电话号码的字母组合

示例:

输入：“23”
输出：[“ad”, “ae”, “af”, “bd”, “be”, “bf”, “cd”, “ce”, “cf”].

说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课 ****(opens new window)**** ：：还得用回溯算法！| LeetCode：17.电话号码的字母组合 ****(opens new window)**** ，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

从示例上来说，输入"23"，最直接的想法就是两层for循环遍历了吧，正好把组合的情况都输出了。

如果输入"233"呢，那么就三层for循环，如果"2333"呢，就四层for循环…

大家应该感觉出和77.组合 **(opens new window)** 遇到的一样的问题，就是这for循环的层数如何写出来，此时又是回溯法登场的时候了。

理解本题后，要解决如下三个问题：

数字和字母如何映射
两个字母就两个for循环，三个字符我就三个for循环，以此类推，然后发现代码根本写不出来
输入1 * #按键等等异常情况

#数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个二维数组，例如：string letterMap[10]，来做映射，我这里定义一个二维数组，代码如下：

const string letterMap[10] = {
"", // 0
"", // 1
"abc", // 2
"def", // 3
"ghi", // 4
"jkl", // 5
"mno", // 6
"pqrs", // 7
"tuv", // 8
"wxyz", // 9
};

#回溯法来解决n个for循环的问题

对于回溯法还不了解的同学看这篇：关于回溯算法，你该了解这些！(opens new window)

例如：输入：“23”，抽象为树形结构，如图所示：

17. 电话号码的字母组合

图中可以看出遍历的深度，就是输入"23"的长度，而叶子节点就是我们要收集的结果，输出[“ad”, “ae”, “af”, “bd”, “be”, “bf”, “cd”, “ce”, “cf”]。

回溯三部曲：

确定回溯函数参数

首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果，然后用一个字符串数组result保存起来，这两个变量我依然定义为全局。

再来看参数，参数指定是有题目中给的string digits，然后还要有一个参数就是int型的index。

注意这个index可不是 77.组合 **(opens new window)** 和216.组合总和III **(opens new window)** 中的startIndex了。

这个index是记录遍历第几个数字了，就是用来遍历digits的（题目中给出数字字符串），同时index也表示树的深度。

代码如下：

vector<string> result;
string s;
void backtracking(const string& digits, int index)

确定终止条件

例如输入用例"23"，两个数字，那么根节点往下递归两层就可以了，叶子节点就是要收集的结果集。

那么终止条件就是如果index 等于输入的数字个数（digits.size）了（本来index就是用来遍历digits的）。

然后收集结果，结束本层递归。

代码如下：

if (index == digits.size()) {
result.push_back(s);
return;
}

确定单层遍历逻辑

首先要取index指向的数字，并找到对应的字符集（手机键盘的字符集）。

然后for循环来处理这个字符集，代码如下：

int digit = digits[index] - '0';        // 将index指向的数字转为int
string letters = letterMap[digit];      // 取数字对应的字符集
for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
s.push_back(letters[i]);            // 处理
backtracking(digits, index + 1);    // 递归，注意index+1，一下层要处理下一个数字了
s.pop_back();                       // 回溯
}

注意这里for循环，可不像是在**回溯算法：求组合问题！** ****(opens new window)和回溯算法：求组合总和！ ****(opens new window)****中从startIndex开始遍历的。

因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而**77. 组合** ****(opens new window)和216.组合总和III ****(opens new window)****都是求同一个集合中的组合！

注意：输入1 * #按键等等异常情况

代码中最好考虑这些异常情况，但题目的测试数据中应该没有异常情况的数据，所以我就没有加了。

但是要知道会有这些异常，如果是现场面试中，一定要考虑到！

关键地方都讲完了，按照关于回溯算法，你该了解这些！ **(opens new window)** 中的回溯法模板，不难写出如下C++代码：

// 版本一
class Solution {
private:
const string letterMap[10] = {
"", // 0
"", // 1
"abc", // 2
"def", // 3
"ghi", // 4
"jkl", // 5
"mno", // 6
"pqrs", // 7
"tuv", // 8
"wxyz", // 9
};
public:
vector<string> result;
string s;
void backtracking(const string& digits, int index) {
if (index == digits.size()) {
result.push_back(s);
return;
}
int digit = digits[index] - '0';        // 将index指向的数字转为int
string letters = letterMap[digit];      // 取数字对应的字符集
for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
s.push_back(letters[i]);            // 处理
backtracking(digits, index + 1);    // 递归，注意index+1，一下层要处理下一个数字了
s.pop_back();                       // 回溯
}
}
vector<string> letterCombinations(string digits) {
s.clear();
result.clear();
if (digits.size() == 0) {
return result;
}
backtracking(digits, 0);
return result;
}
};

时间复杂度: O(3^m * 4^n)，其中 m 是对应四个字母的数字个数，n 是对应三个字母的数字个数
空间复杂度: O(3^m * 4^n)

一些写法，是把回溯的过程放在递归函数里了，例如如下代码，我可以写成这样：（注意注释中不一样的地方）

// 版本二
class Solution {
private:
const string letterMap[10] = {
"", // 0
"", // 1
"abc", // 2
"def", // 3
"ghi", // 4
"jkl", // 5
"mno", // 6
"pqrs", // 7
"tuv", // 8
"wxyz", // 9
};
public:
vector<string> result;
void getCombinations(const string& digits, int index, const string& s) { // 注意参数的不同
if (index == digits.size()) {
result.push_back(s);
return;
}
int digit = digits[index] - '0';
string letters = letterMap[digit];
for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
getCombinations(digits, index + 1, s + letters[i]);  // 注意这里的不同
}
}
vector<string> letterCombinations(string digits) {
result.clear();
if (digits.size() == 0) {
return result;
}
getCombinations(digits, 0, "");
return result;

}
};

我不建议把回溯藏在递归的参数里这种写法，很不直观，我在二叉树：以为使用了递归，其实还隐藏着回溯 **(opens new window)** 这篇文章中也深度分析了，回溯隐藏在了哪里。

所以大家可以按照版本一来写就可以了。

#总结

本篇将题目的三个要点一一列出，并重点强调了和前面讲解过的77. 组合 **(opens new window)** 和216.组合总和III **(opens new window)** 的区别，本题是多个集合求组合，所以在回溯的搜索过程中，都有一些细节需要注意的。

其实本题不算难，但也处处是细节，大家还要自己亲自动手写一写。

本周小结！（回溯算法系列一）

#周一

本周我们正式开始了回溯算法系列，那么首先当然是概述。

在关于回溯算法，你该了解这些！ **(opens new window)** 中介绍了什么是回溯，回溯法的效率，回溯法解决的问题以及回溯法模板。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多在剪枝一下。

回溯算法能解决如下问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
棋盘问题：N皇后，解数独等等

是不是感觉回溯算法有点厉害了。

回溯法确实不好理解，所以需要把回溯法抽象为一个图形来理解就容易多了，每一道回溯法的题目都可以抽象为树形结构。

针对很多同学都写不好回溯，我在关于回溯算法，你该了解这些！ **(opens new window)** 用回溯三部曲，分析了回溯算法，并给出了回溯法的模板。

这个模板会伴随整个回溯法系列！

#周二

在回溯算法：求组合问题！ **(opens new window)** 中，我们开始用回溯法解决第一道题目，组合问题。

我在文中开始的时候给大家列举k层for循环例子，进而得出都是同样是暴力解法，为什么要用回溯法。

此时大家应该深有体会回溯法的魅力，用递归控制for循环嵌套的数量！

本题我把回溯问题抽象为树形结构，可以直观的看出其搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

#周三

针对回溯算法：求组合问题！ **(opens new window)** 还可以做剪枝的操作。

在回溯算法：组合问题再剪剪枝 **(opens new window)** 中把回溯法代码做了剪枝优化，在文中我依然把问题抽象为一个树形结构，大家可以一目了然剪的究竟是哪里。

剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

#周四

在回溯算法：求组合总和！ **(opens new window)** 中，相当于回溯算法：求组合问题！ **(opens new window)** 加了一个元素总和的限制。

整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。

在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是回溯算法：组合问题再剪剪枝 **(opens new window)** 中提到的，对for循环选择的起始范围的剪枝。

所以，剪枝的代码，可以把for循环，加上 i <= 9 - (k - path.size()) + 1 的限制！

组合总和问题还有一些花样，下周还会介绍到。

#周五

在回溯算法：电话号码的字母组合 **(opens new window)** 中，开始用多个集合来求组合，还是熟悉的模板题目，但是有一些细节。

例如这里for循环，可不像是在回溯算法：求组合问题！ **(opens new window)** 和回溯算法：求组合总和！ **(opens new window)** 中从startIndex开始遍历的。

因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而**回溯算法：求组合问题！** ****(opens new window)和回溯算法：求组合总和！ ****(opens new window)****都是是求同一个集合中的组合！

如果大家在现场面试的时候，一定要注意各种输入异常的情况，例如本题输入1 * #按键。

其实本题不算难，但也处处是细节，还是要反复琢磨。

#周六

因为之前链表系列没有写总结，虽然链表系列已经是两个月前的事情，但还是有必要补一下。

所以给出链表：总结篇！ **(opens new window)** ，这里对之前链表理论基础和经典题目进行了总结。

同时对链表：环找到了，那入口呢？ **(opens new window)** 中求环入口的问题又进行了补充证明，可以说把环形链表的方方面面都讲的很通透了，大家如果没有做过环形链表的题目一定要去做一做。

#总结

相信通过这一周对回溯法的学习，大家已经掌握其题本套路了，也不会对回溯法那么畏惧了。

回溯法抽象为树形结构后，其遍历过程就是：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

这个是我做了很多回溯的题目，不断摸索其规律才总结出来的。

对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块一般都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。

所以，录友们刚开始学回溯法，起跑姿势就很标准了。

下周依然是回溯法，难度又要上升一个台阶了。

最后祝录友们周末愉快！

如果感觉「代码随想录」不错，就分享给身边的同学朋友吧，一起来学习算法！

代码随想录算法训练营第二十八天：回溯继续