2024年美国大学生数学建模竞赛
B题 搜寻潜水器
原题再现：
希腊的一家公司 Maritime Cruises Mini-Submarines(MCMS)制造的潜水器能够载人到海洋的最深处。潜水器被移动到指定地点，并在不与主船相连的情况下部署。MCMS 现在希望利用他们的潜水器带领游客在爱奥尼亚海海底探险，寻找沉船残骸。不过，在此之前，他们需要制定安全程序，以防与主船失去联系和可能出现的机械故障包括潜水器失去推进力，从而赢得监管机构的批准。特别是，他们希望你们开发一个模型，以预测潜水器在一段时间内的位置。与在陆地或海面上的典型搜救不同，有缺陷的潜水器有可能被放置在海底或水下中性浮力点。它的位置还可能受到海流、海中不同密度和/或海底地理环境的影响。你们的任务是：
定位——建立一个(多个)模型，预测潜水器在一段时间内的位置。
这些预测的不确定性有多大?。潜水器可定期向主船发送哪些信息，以在事故发生前减少这些不确定性?为此，潜水器需要哪些设备?
准备——如果有的话，您建议公司在主机船上携带哪些额外的搜索设备，以便在必要时部署?您可以考虑不同类型的设备，但也必须考虑与这些设备的可用性、维护准备和使用相关的成本。如果有必要，救援船只可能需要携带哪些额外设备提供协助?
搜索——建立一个模型，利用定位模型中的信息来建议设备的初始部署点和搜索模式，从而最大限度地缩短找到失联潜水器的时间。根据时间和累积搜索结果，确定找到潜水器的概率。
推断——如何将你的模型扩展到其他旅游目的地，如加勒比海?如果多个潜水器在同一附近移动，你的模型将如何改变?
整体求解过程概述(摘要)
潜水器的安全程序是其安全行驶的重要前提。为了更好地监测潜水器，我们开发并推广了潜水器位置预测模型。结合性能和成本考虑，我们确定了潜水器和主船应配备的设备。
建立了基于微分方程的潜艇位置预报模型。该模型由电流扰动模型和水阻力模型两部分组成。其中，海流扰动模型主要考虑了海水环境中风、浪、流对潜水器的影响；水阻力模型从海水对潜水器的阻力出发。这两部分之间的动力学关系构成了模型的微分方程关系，求解的是得到潜水器位置与完成位置预测时间的关系。在此基础上，假设不确定性的原因，并确定潜水器应发送的信息和应配备的设备，以减少不确定性。
根据潜艇位置预测模型所反映的环境特征，建立了基于EWM-TOPSIS的搜索设备评估模型，选取采购成本、维修使用成本、可用概率、搜救效率、环境因素感知度作为评估指标，最终确定主船上应配备的搜索设备为ROV、声纳系统、AUV，救援船应配备自动救生衣和雷达反射器辅助。
在潜艇位置预测模型的基础上，建立了一种有效的潜艇定位模型。该模型采用改进的圆形搜索模型，并使用蒙特卡罗模拟研究潜水器的所有可能位置，初始部署点取决于模拟结果。根据圆形搜索模型的几何关系，推导了发现潜水器的概率随时间和累积搜索结果的函数关系。
通过比较加勒比海和研究区的环境和动力特征之间的差异，推广潜艇位置预测模型，使该模型可以推广到其他海区；考虑到潜水器之间相互作用对潜水器速度的影响，使该模型可以推广到有多个潜水器的海区。
模型假设：
为了简化问题，方便我们模拟实际情况，我们做了以下基本假设，每个假设都是正确的。
•假设1：在我们的研究期间，爱奥尼亚海的海面保持稳定。
理由：爱奥尼亚海位于地中海中部，北与亚得里亚海接壤，西与意大利的卡拉布里亚和西西里岛接壤，东与阿尔巴尼亚和许多希腊岛屿接壤，面积辽阔。因此，我们假设海域不会发生显著变化，并且潜水器和主船不会搁浅。
•假设2：在研究期间，爱奥尼亚海的气候类型保持不变。
理由：爱奥尼亚海的气候类型为地中海，受副热带高压和西风带的影响，海水盐度、气压和海水温度大致稳定，因此风的大小、洋流的强度和海水的密度大致相同。
•假设3：在研究期间，爱奥尼亚海不会发生大型自然灾害。
理由：地震、海啸和台风等大型自然灾害会极大地影响船舶和潜水器的运动，因此我们假设海洋平静，不会受到突发性自然灾害的影响。
•假设4：潜水器上可忽略的人员质量。
理由：人员质量对潜水器的影响是潜水器上的动载荷。动载荷的计算比较复杂。然而，对于在水中航行的潜水器，海水对潜水器的影响远大于潜水器中人员的影响。因此，我们假设人员的质量可以忽略，即人员对潜水器的影响可以忽略。
•假设5：在研究期间，潜水器的体积保持一致。
理由：潜水器的体积在很大程度上决定了潜水器的浮力和潜水能力、操纵性和可操纵性、承载能力和耐压性，在这种情况下，潜水器不是自支撑的，因此我们假设潜水器在研究期间不能改变其体积。
•假设6：潜水器在水下航行时不受人类活动的影响。
理由：海水能见度降低、海洋碎屑和各种人为产生的电磁场会影响潜水器的运行，因此我们假设潜水器的运行不会受到这些人为因素的干扰。
问题重述：
我们的任务是预测潜水器的位置随时间的变化，潜水器不是自支撑的，并且在功率耗尽时不能自动调节其行驶速度或实现上下行为。因此，有缺陷的潜水器通常固定在海底或中性浮力点。有了这样的边界条件，问题可以转化为以下四个部分：
•开发一个模型，预测潜水器随时间的位置，研究其不确定性，并探索潜水器应发送的信息和应配置的设备。
•确定主船应携带的搜索设备和特殊情况下救援船应携带的救援设备。
•根据潜水位置的预测模型，探索设备的初始部署点和搜索模式，以尽量减少定位时间和发现潜水器的概率，并将其作为时间和累积搜索结果的函数。
•将模型扩展到加勒比海和其他海域以及多个移动潜水器。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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代码：(文档not free)
clc
dt=1
x=0;
y=0;
z=0;
vx=0;
vy=0;
vz=0;
%XRD=rand(1,1440);%用来改方向的
XRD=rand(1,1440)*2-1;
YRD=rand(1,1440)*2-1;
VX=[];
VY=[];
VZ=[];
X1=[];
Y1=[];
Z1=[];
R=[];
i_1=1
for t=[1:dt:1440]
X=XRD(i_1);
Y=YRD(i_1);
Wx=5*X;
Wy=5*Y;
ax=1.8*(Wx-vx)-0.2*vx;%具体系数请自己计算
ay=1.6*(Wy-vy)-0.2*vy;%具体系数请自己计算
az=0.2*(10-0.5*z)-0.2*vz;%具体系数请自己计算
vx=vx+ax*dt;
vy=vy+ay*dt;
vz=vz+az*dt;
x=x+vx*dt;
y=y+vy*dt;
z=z+vz*dt;
r=x*x+y*y;
VX(end+1)=vx;
VY(end+1)=vy;
X1(end+1)=x;
Y1(end+1)=y;
Z1(end+1)=z;
R(end+1)=r;
i_1=i_1+1;
end
X2=X1*60;%*60是单位修正
Y2=Y1*60;%单位修正
Z2=Z1;
T=1:dt:1440;
plot(X2,Y2)
%plot(T,R)
%scatter(X1,Y1)
%scatter(T,R)
# 潜水艇轨迹预测模型
def submarine_trajectory(t, state):
# 简化的动力学模型，需要根据实际情况修改
x, y, z, vx, vy, vz = state
dxdt = vx
dydt = vy
dzdt = vz
dvxdt = f_x(x, y, z, t)
dvydt = f_y(x, y, z, t)
dvzdt = f_z(x, y, z, t)
return [dxdt, dydt, dzdt, dvxdt, dvydt, dvzdt]
# 搜救设备部署模型
def search_device_motion(t, position, v_s, epsilon_i, theta_i):
# 简化的搜索设备运动模型，需要根据实际情况修改
dxdt = v_s * epsilon_i * np.cos(theta_i)
dydt = v_s * epsilon_i * np.sin(theta_i)
dzdt = 0
return [dxdt, dydt, dzdt]
# 搜救时间模型
def rescue_time_model(T, search_device_positions, submarine_trajectory):
# 计算在给定时间内找到潜水艇的概率
P_T = 1
for position in search_device_positions:
P_i_T = search_device_detection_probability(T, position, submarine_trajectory)
P_T *= P_i_T
return 1 - P_T
# 搜救概率模型
def update_rescue_probability(previous_probability, search_device_detection_probability):
# 贝叶斯更新搜救概率
updated_probability = previous_probability * search_device_detection_probability
updated_probability /= np.sum(updated_probability)
return updated_probability
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
# 多目标轨迹预测模型
def multi_submarine_trajectory(states, t):
# 具体的动力学模型，根据目标个数修改
num_targets = len(states) // 6
dx = np.zeros_like(states)
for i in range(num_targets):
idx = slice(i*6, (i+1)*6)
dx[idx] = submarine_trajectory(states[idx], t)
return dx
# 多目标搜索设备部署模型
def multi_search_device_motion(positions, t, v_s, epsilon, u):
# 具体的搜索设备运动模型，根据目标个数修改
num_targets = len(positions) // 3
dp = np.zeros_like(positions)
for i in range(num_targets):
idx = slice(i*3, (i+1)*3)
dp[idx] = search_device_motion(positions[idx], t, v_s, epsilon, u[:, i])
return dp
# 多目标搜救时间模型
def multi_rescue_time_model(T, search_device_positions, multi_submarine_trajectory):
# 计算在给定时间内找到潜水艇的概率，根据目标个数修改
num_targets = len(search_device_positions) // 3
P_T = 1
for i in range(num_targets):
idx = slice(i*3, (i+1)*3)
P_i_T = search_device_detection_probability(T, search_device_positions[idx], multi_submarine_trajectory[idx])
P_T *= P_i_T
P_T = 1 - P_T
return P_T
# 多目标搜救概率模型
def multi_update_rescue_probability(previous_probability, search_device_detection_probability):
# 贝叶斯更新搜救概率，根据目标个数修改
num_targets = len(previous_probability)
updated_probability = previous_probability * search_device_detection_probability
updated_probability /= np.sum(updated_probability)
return updated_probability
# 示例的搜索设备检测概率模型
def search_device_detection_probability(T, position, submarine_trajectory):
# 简化的检测概率模型，需要根据实际情况修改
# 假设设备在时间 T 内能够探测到潜水艇
return 0.8