题目
如果
，对于
和
，画出由（10.9）式给出的
与
的函数曲线。把你的结果和估计量
进行比较。提示：注意分子可以用闭合形式计算，分布与高斯随机变量的累计分布函数有关。
解答
根据（10.9），给出了A的先验PDF符合高斯分布，且在有限区间
情况下的MMSE估计量，即：
现在需要通过求上述积分，得到
的闭式解。对上述式子做简单变换，考虑到
与
无关，因此
不受积分影响，得到：
其中：
现在开始求
：
考虑
，那么：
其中
由于
的导数可以表示为：
因此：
本质上是求的是
服从高斯分布
情况下，在
内的概率
也就是求的
服从标准高斯分布
情况下，在
内的概率
而标准正态分布的概率可以用
表示，即：
可以查标准正态分布函数表，或者直接用matlab中的函数normcdf(z)直接计算。
参考：
https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/102737923
正态累积分布函数 - MATLAB normcdf- MathWorks 中国
因此：
最终，将获得的
和
带入最初的公式，得到：
当
， 
时：
当
， 
时：
可以用后续的matlab代码进行作图。
以
为例，从MMSE估计结果可以看出，根据经验限制了
的估计范围之后，MMSE估计量在
这个范围内，
，而当
时，
，即趋近于限定值。
另外，我们也可以发现，尽管（10.5）给出的MMSE估计量形式比较简洁，但是实际情况下，这个积分获得闭式解非常困难，当然题目给定的条件只是特例。
Matlab作图代码
clc, clear, close all;
sigmanorm=1;
A0=3;
x_avg=-A0:0.01:A0;
AEsit=x_avg+sqrt(sigmanorm/2/pi)*(exp(-(A0+x_avg).^2/(2*sigmanorm))-exp(-(A0-x_avg).^2/(2*sigmanorm)))./(normcdf((A0-x_avg)/sqrt(sigmanorm))-normcdf((-A0-x_avg)/sqrt(sigmanorm)));
figure(1)
plot(x_avg,AEsit,'b')
hold on
plot(x_avg,x_avg,'r')
xlabel('x average')
ylabel('MMSE')
legend('MMSE','avg')
hold off
A0=10;
x_avg=-A0:0.01:A0;
AEsit=x_avg+sqrt(sigmanorm/2/pi)*(exp(-(A0+x_avg).^2/(2*sigmanorm))-exp(-(A0-x_avg).^2/(2*sigmanorm)))./(normcdf((A0-x_avg)/sqrt(sigmanorm))-normcdf((-A0-x_avg)/sqrt(sigmanorm)));
figure(2)
plot(x_avg,AEsit,'b')
hold on
plot(x_avg,x_avg,'r')
xlabel('x average')
ylabel('MMSE')
legend('MMSE','avg')
hold off
时的估计图形：
时的估计图形：
