归并排序：算法原理与实现

归并排序：算法原理与实现

归并排序（Merge Sort）是一种经典的排序算法，它采用分治策略（Divide and Conquer）来对数组进行排序。该算法的基本思想是将数组分成若干个较小的部分，分别对它们进行排序，然后合并成较大的部分，直到整个数组排序完成。归并排序因其高效和稳定性在计算机科学中有着广泛的应用。

算法原理

1. 分解（Divide）：将待排序的数组从中间分成两个子数组。
2. 解决（Conquer）：递归地对两个子数组进行归并排序。
3. 合并（Merge）：将两个已排序的子数组合并成一个有序的数组。

算法实现

Python 示例

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    mid = len(arr) // 2
    left_half = arr[:mid]
    right_half = arr[mid:]

    merge_sort(left_half)
    merge_sort(right_half)

    i, j, k = 0, 0, 0

    while i < len(left_half) and j < len(right_half):
        if left_half[i] < right_half[j]:
            arr[k] = left_half[i]
            i += 1
        else:
            arr[k] = right_half[j]
            j += 1
        k += 1

    while i < len(left_half):
        arr[k] = left_half[i]
        i += 1
        k += 1

    while j < len(right_half):
        arr[k] = right_half[j]
        j += 1
        k += 1

# 示例
arr = [12, 11, 13, 5, 6, 7]
merge_sort(arr)
print("Sorted array is:", arr)

复杂度分析

• 时间复杂度：归并排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。这是因为算法将数组分成两半，并递归地对这两半进行排序，每次递归的时间复杂度是 $O(n)$，而递归的深度是 $\log n$。
• 空间复杂度：归并排序的空间复杂度为 $O(n)$，因为它需要一个额外的数组来存储排序过程中的中间结果。

应用场景

归并排序因其稳定性（相等的元素在排序后保持原来的顺序）和高效性，在处理大规模数据集时非常有效。它特别适用于链表排序、外部排序（数据量太大，无法全部加载到内存中）以及需要稳定排序算法的场景。

总结

归并排序是一种高效且稳定的排序算法，通过分治策略将问题分解成更小的部分，然后逐步合并，最终得到有序数组。尽管它在空间复杂度上不如其他排序算法高效，但其在时间复杂度上的优势使其在许多应用场景中非常有用。