算法——快速幂

前言

这些是数学相关的算法，理解一下思路，记一下模板代码即可，多用于数据处理，即解题中的某一步。

问题引入

• 根据以往的学习经验，我们在计算5的10次方这个问题时，需要多少次的运算呢?

一般来说你可能会想到for循环次方数，一直累乘，这样算的时间复杂度为O(n)
那么对于这种运算，我们能否对其进行优化，从而缩短运算时间呢?

解决过程

• 我们很容易发现，10个5相乘是一个完全重复的过程，如果它变成(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)，因为我们把5*5这个重复的运算先完成了，这样运算次数缩短为5次。
  继续下去可以发现(5×5)×(5×5)也是重复进行的。
  如果我们进一步优化，那么就可以变成(5×5×5×5)×(5×5×5×5)×(5×5)。
• 由上面可以知道的是(5×5×5×5)就是(5×5)的平方(5×5)又是5的平方，那么这个过程就变为了:一个数字始终在平方，当你需要它的时候就取它的值。
  比如我要计算5¹⁰,那么我需要取2个数的值：5²的值和5⁸的值，因为5²×5⁸=5¹⁰

问题产生及解决

1. 取值怎么取，是固定的吗？比如能不能取5³的值和5⁷的值？

答：不能。上面推理的时候我们是两两合为一个，比如5×5×5×5合成为(5×5)×(5×5)，(5×5)×(5×5)又合成为(5×5×5×5)，也就是上面的一句话：一个数字始终在平方，当你需要它的时候就取它的值，也就是说，我们取的数一定是2的幂次数。为什么？方便以后复用。复用就是比如5⁴由前面已经得到的5²经过乘以自己（即5²×5²）得到。

2. 既然要得到2的幂累积和的形式，也就是我们把一个十进制的次方数转成了二进制，怎么转？

答：进制转换:任何数都可以写成2^n相加的形式。
5=2²+2⁰;
7=2²+2¹+2⁰;
为什么？
除基取余法。

做法

• 此时我们结合进制转换的知识，把幂数拆成了几个2的幂累和的形式，也就是我们把一个十进制的次方数转成了二进制，但是不直接写成二进制形式而是把二进制形式里为1的部分，写出来做累加。

• 5⁸,5²如何求?
  5不断平方:5¹ 5² 5⁴ 5⁸ 5¹⁶

计算n^x:

• 任务一:有一个变量始终保存当前是2的几次方，即2⁰、2¹、2²以此类推，如果我们以n作为底数，那么到此题中就变成了n¹、n²、n⁴，我们只需要每次n*=n即可
• 任务二:如果x%2==1证明该二进制位的值为1，因此应该用累乘变量res乘上当前的n。当然在循环的最后，和10进制转2进制一样，x需要除以2，只要x不为零这个循环始终执行下去

代码：

int n,x;	//底数，次方数 
int res=1;	//累乘变量 
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&x);
	while(x!=0){	//只要x不为0就始终执行下去 
		int j=x%2;
		if(j==1){
			res*=n;	//当前2进制位为1，乘上当前位置的n,即我们的任务二 
		}
		x/=2;		//x除以2，和短除法一样
		n*=n;		//n每次乘以自身，即我们的任务一 	 
	} 
	printf("%d\n",res); 
	return 0;
}

时间复杂度：O(log x)

以5¹⁰为例：
10的二进制为1010，即1×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰,根据代码，当任务一持续执行时，在第二位和第四位执行代码res*=n（即任务二）；在第二位时，n=5²。在第四位时，n=5⁸。5²×5⁸=5¹⁰,代码结束。

第一轮：
j=10%2=0;(任务二不执行)
x=10/2=5;(x不为0，程序继续执行任务一)
n=5×5=5²;（任务一）

第二轮：
j=5%2=1;(任务二执行)
res=1×5²=5²;（任务二）
x=5/2=2;(x不为0，程序继续执行任务一)
n=5²×5²=5⁴;（任务一）

第三轮：
j=2%2=0;(任务二不执行)
x=2/2=1；(x不为0，程序继续执行任务一)
n=5⁴×5⁴=5⁸;（任务一）

第四轮：
j=1%2=1;(任务二执行)
res=5²×5⁸=5¹⁰;（任务二）
x=1/2=0;(x为0，程序结束任务一不执行)

此时输出res就是5¹⁰的值.

板子题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

1. 如果题目提示要你把算出来的答案取余输出，说明算出来的答案非常大，甚至连long long都存不下，所以在计算的过程中就要把取摸运算加上去，不要想着等算出答案再取摸（要保证每一步都能用正常的数据类型存的下）。

2. 在计算过程中取余遵循下面的模运算理论：

(a×b)%c=( (a%c) × (b%c) )%c
加法同理
(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

证明如下：

证明 (a×b)%c= ( (a%c) × (b%c) ) % c
令：
a%c=y ——>a= i×c + y (i为常数)
b%c=z ——>b= j×c + z (j为常数)
有：
(a×b)%c= ( (i×c+y) × (j×c+z) ) % c ·····················①
(i×c+y) × (j×c+z)= i×j×c×c + i×z×c + j×y×c + y×z
······················= (i×j×c×i×z×j×y)×c + y×z
令：
i×j×c×i×z×j×y=k
则有：
(i×c + y) × (j×c + z)= k×c + y×z ··························②
把②代入①式：
(a×b)%c= (k×c + y×z)%c
···········=(k×c)%c + (y×z)%c
···········=0 + (y×z)%c
把y,z展开：
(a×b)%c=0 + ( (a%c) × (b%c) )%c
证毕.