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《信号与系统》考研速成提升（13h）_哔哩哔哩_bilibili
概论：
冲激函数：
单位冲激函数是个什么鬼？它又有什么特性？_哔哩哔哩_bilibili
冲激函数（Impulse Function），又称脉冲函数，是一个在数学和信号处理等领域广泛应用的奇异函数。以下是对冲激函数的详细解释：
一、定义
冲激函数是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。单位冲激函数通常表示为δ(t)，其中t为时间变量。它不是经典意义下的函数，而是一个广义函数（或奇异函数），不能用通常意义下的“值的对应关系”来理解和使用，而是通过它的性质来使用。
二、性质
- 筛选性质：冲激函数具有筛选信号特定时刻值的能力。如果信号x(t)是一个在t0处连续的普通函数，那么x(t)与冲激函数δ(t-t0)相乘的结果就是x(t0)，即信号x(t)在t0时刻的函数值。这可以理解为冲激函数在t0时刻对函数x(t)的一瞬间的作用，筛选出其特定时刻的值。
- 取样性质：冲激函数的取样特性表明，一个连续时间信号x(t)与冲激函数δ(t-t0)相乘，并在时间域上进行积分，其结果为信号x(t)在t0时的函数值x(t0)。这可以理解为冲激函数作用于函数x(t)，趋于稳态时最终作用的结果。
- 导数性质：冲激函数的导数称为冲激偶函数。当t从负值趋于0时，冲激偶函数是一个强度为无限大的正的冲激函数；当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。冲激偶函数在信号处理和分析中也有重要应用。
- 尺度变换性质：冲激函数经过尺度变换后，其性质也会相应发生变化。尺度变换可以用于调整冲激函数的强度和作用时间，从而适应不同的信号处理需求。
阶跃信号：
阶跃信号（也作“阶越信号”），是一种在信号处理领域常见的信号类型，它通常被用来模拟某些系统或过程中发生突变或突然变化的情况。以下是对阶跃信号的详细介绍：
一、定义与数学表示
阶跃信号通常用一个函数来表示，该函数在某一时间点（通常为零点）突然变化。数学上，阶跃信号可以表示为以下形式：
其中，u(t)是阶跃信号的函数，t为时间。在t=0时，阶跃信号突变为常数1。也有定义指出，在t=0时，u(t)的值为0.5，表示跳变点的值。
二、特点
- 突变性：阶跃信号在某一时刻发生突然的跳变，从一个常数值瞬间变化到另一个常数值，没有过渡过程。这种突变性会导致阶跃信号的傅里叶变换包含无限多个频率分量。
- 持续性：阶跃信号在跳变后保持新的常数值不变，直到有其他信号作用或外部干预。
- 简单性：阶跃信号数学上表示为一个简单的函数，通常用单位阶跃函数表示。
- 单位幅值：单位阶跃信号在跳变后保持的值为1，因此称为单位阶跃信号。单位阶跃信号可以用作其他阶跃信号的基准，并可用于表示开/关信号等。
- 延迟与缩放：阶跃信号可以通过延迟和缩放来变换。延迟后的阶跃信号在跳变时刻延后了一段时间，但不会改变阶跃信号的幅值；缩放后的阶跃信号的幅值发生变化，但跳变时刻保持不变。
三、性质
- 平稳性：除了发生突变的时间点外，阶跃信号在其他时间点保持恒定。
- 可逆性：阶跃信号的变化是可逆的，即可以根据输出信号还原得到输入信号。
- 积分与导数：阶跃信号的积分是单位斜坡信号，单位斜坡信号在t>0时呈线性上升趋势，斜率为1；阶跃信号的导数是单位冲激信号，单位冲激信号在t=0处有无限大的幅值，在其他时刻为0。
周期信号：
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10分10秒
两个周期函数相加，将两者的周期相除，为有理数则相加后的信号依旧为周期信号，为无理数则相加之后的信号为非周期信号
周期信号是指在一定时间间隔内，信号的形状和幅值重复出现的信号。这个重复的时间间隔被称为信号的周期。以下是对周期信号的详细介绍：
一、定义与数学表示
周期信号可以表示为x(t)=x(t+kT)的形式，其中t表示时间，T表示周期，k是整数。这表示信号x(t)在每隔T时间后重复出现。
二、特点
- 周期性：周期信号的最显著特点是其周期性，即信号在时间上具有重复性。这种重复性使得周期信号在频域上具有特定的频谱结构。
- 多样性：周期信号的形式多种多样，包括正弦信号、方波信号、脉冲信号等。这些信号在形状、幅值、频率等方面具有不同的特点。
- 稳定性：由于周期信号具有固定的周期和重复的模式，因此它们通常具有较高的稳定性。这种稳定性使得周期信号在信号处理、通信系统等领域具有广泛的应用。
三、常见类型
- 正弦信号：正弦信号是最常见的周期信号之一。它的波形呈正弦曲线形状，具有固定的频率、幅值和相位。正弦信号在信号处理、通信系统、电力系统等领域具有广泛的应用。
- 方波信号：方波信号是一种由高低电平交替出现的周期信号。它的波形在高低电平之间快速切换，形成方形的波形。方波信号在数字电路、脉冲电路等领域具有广泛的应用。
- 脉冲信号：脉冲信号是一种在短时间内出现的高幅值信号。它可以是单个脉冲或多个脉冲组成的脉冲序列。脉冲信号在雷达、通信、测量等领域具有广泛的应用。
四、性质
- 频率特性：周期信号的频率是固定的，且与其周期成反比。这意味着周期越短，信号的频率越高；周期越长，信号的频率越低。
- 相位特性：周期信号的相位表示信号在周期内的位置。对于正弦信号等具有明确相位的周期信号，相位特性在信号处理和通信系统中具有重要的作用。
- 谐波特性：周期信号可以分解为一系列频率为其基频整数倍的谐波分量。这些谐波分量在信号处理、频谱分析等领域具有重要的作用。
非周期信号：
非周期信号是指在时间上不具有重复性的信号，即信号的形状、幅值或相位等特征不会每隔一定时间间隔重复出现。以下是对非周期信号的详细介绍：
一、定义与特点
非周期信号没有固定的周期，其波形在时间上不会重复出现。这种信号在自然界和工程实践中广泛存在，如噪声信号、随机信号、瞬态信号等。非周期信号的特点在于其变化的无规律性和不可预测性，这使得它们在频域上的表现与周期信号有显著的不同。
二、频谱特性
非周期信号的频谱是连续的，与周期信号的离散频谱形成鲜明对比。这是因为非周期信号在时间上不具有周期性，所以其频率成分不是离散的，而是分布在连续的频率范围内。这种连续频谱的特性使得非周期信号在频域上的分析更加复杂和困难。
三、常见类型
- 噪声信号：噪声信号是一种典型的非周期信号，它通常是由多种频率成分组成的随机信号。噪声信号在通信、测量等领域中常常作为干扰信号出现，对系统的性能和精度产生影响。
- 随机信号：随机信号是另一种常见的非周期信号，它不能用确定的时间函数来描述，也无法预测其某一时刻的精确取值。随机信号的变化具有随机性和不可预测性，这使得它们在信号处理和分析中需要采用特殊的方法。
- 瞬态信号：瞬态信号是指在短时间内出现并快速消失的信号，如脉冲信号、冲击信号等。这些信号在时间上具有短暂性和突发性，因此也是非周期信号的一种。
连续信号：
【信号基础阶段】高频问题答疑——离散信号与连续信号区别_哔哩哔哩_bilibili
连续信号是在整个时间范围均有定义的信号，其特点、性质及应用如下：
一、定义与特点
定义：连续信号，或称连续时间信号，是指定义在实数域（通常是时间域）上，且其自变量（时间）的取值是连续的。这意味着信号的值在时间的任意点上都有定义。
特点：
- 连续性：连续信号在时间上是连续变化的，不存在时间间隔断裂的情况。这使得连续信号能够准确地描述时间上的连续变化过程。
- 无限精度：连续信号可以在任意时间点上取到任意值，具有无限精度。这使得连续信号能够描述非常精细的变化过程。
- 值域广泛：连续信号的取值范围可以是实数集合，没有限制。这使得连续信号能够描述广泛的现象和特征。
二、数学表示与实例
- 数学表示：连续信号在数学上可以表示为一个连续函数，其变量通常代表时间。例如，正弦函数、指数函数等都可以用来描述连续信号。
- 实例：在通信领域，声音、图像和视频等都可以被看作是连续信号。这些信号通过模拟信号处理技术进行采集、传输和重构。此外，在控制系统中，连续信号可以描述物理系统的连续状态变化，用于控制参数的调节和监控。
三、性质与应用
性质：
- 平稳性：除了在某些突变点外，连续信号通常保持相对平稳的变化。
- 可逆性：在某些条件下，连续信号的变化是可逆的，即可以根据输出信号还原得到输入信号。
- 积分与导数：连续信号的积分和导数具有明确的数学意义，并可用于描述信号的变化率和累积效果。
应用：
- 通信系统：连续信号在模拟通信系统中起着关键作用。它们被用作载波信号来传输信息，并通过调制和解调过程进行信号的转换和处理。
- 控制系统：在控制系统中，连续信号用于描述系统的状态变量和输出。通过连续信号的监测和分析，可以实现对系统的精确控制和调节。
- 信号处理与分析：连续信号处理技术包括滤波、变换和分析等，这些技术被广泛应用于音频、图像和视频等领域。通过连续信号处理，可以提高信号的质量和清晰度，并提取有用的信息。
- 生物医学：在生物医学领域，连续信号用于描述生物体的生理参数和状态。例如，心电图（ECG）和脑电图（EEG）等生物电信号都是连续信号，它们被用于监测和分析生物体的健康状况。
四、与离散信号的区别
连续信号与离散信号是数字信号处理中两种常见的信号形式。它们的主要区别在于取值方式和时间表示上：
- 取值方式：连续信号在任意时间点上都有取值，而离散信号只在离散的时间点上有取值。
- 时间表示：连续信号的时间参数是连续的，可以取到任意时间上的值；而离散信号的时间参数是离散的，只能取到特定的时间点上的值。
离散信号：
离散信号是在连续信号上采样得到的信号，以下是对离散信号的详细介绍：
一、定义与特点
定义：离散信号是一个序列，其自变量是“离散”的，即这个序列的每一个值都可以被看作是连续信号的一个采样。
特点：
- 离散性：离散信号只在特定的时间点上取值，这些时间点通常是等间隔的，但也可以是任意的。这使得离散信号在时间上具有不连续性。
- 有限精度：虽然离散信号的幅值可以是连续的（即抽样信号），但在实际应用中，由于采样和量化的限制，离散信号的精度通常是有限的。
- 序列性：离散信号可以看作是一个有序的数值序列，每个数值对应一个特定的时间点。
二、数学表示与实例
- 数学表示：离散信号通常用一系列离散值x[n]来表示，其中n表示采样点的序号。例如，x[0]、x[1]、x[2]…分别表示第一个、第二个、第三个…采样点的值。
- 实例：在数字音频处理中，声音信号首先被采样为一系列离散的数值，这些数值就构成了离散信号。同样地，在数字图像处理中，图像信号也被采样为一系列离散的像素值。
三、性质与应用
性质：
- 周期性：某些离散信号可能是周期性的，即它们的值在每隔一定数量的采样点后重复出现。
- 频谱特性：离散信号的频谱是离散的，这与连续信号的连续频谱形成对比。离散信号的频谱分析通常涉及离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）。
- 存储与处理：由于离散信号只包含有限数量的采样点，因此它们可以方便地存储在计算机中，并使用数字信号处理技术进行处理和分析。
应用：
- 数字通信：离散信号在数字通信系统中起着关键作用。它们被用作数字信号的载体，通过调制和解调过程进行信号的传输和接收。
- 数字音频与视频处理：在数字音频和视频处理中，离散信号用于表示音频和视频的采样值。通过对这些采样值进行处理和分析，可以实现音频和视频的压缩、解码、增强等功能。
- 图像处理：在图像处理领域，离散信号被用于表示图像的像素值。通过对这些像素值进行处理和分析，可以实现图像的滤波、边缘检测、分割等功能。
- 控制系统：在某些控制系统中，离散信号用于描述系统的状态变量和输出。通过离散信号的监测和分析，可以实现对系统的精确控制和调节。
四、与连续信号的区别
- 时间连续性：连续信号在时间上是连续的，可以在任意时间点上取值；而离散信号只在特定的时间点上取值，具有不连续性。
- 频谱特性：连续信号的频谱是连续的，而离散信号的频谱是离散的。
- 处理方式：连续信号通常使用微积分等连续数学工具进行分析和处理；而离散信号则使用差分方程、z变换等离散数学工具进行分析和处理。