洛谷P4868 Preprefix sum

发布于：2025-02-10 ⋅ 阅读:(16) ⋅ 点赞:(0)

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题目描述

前缀和（prefix sum）𝑆𝑖= $\sum a_{i}$ 。

前前缀和（preprefix sum）则把 𝑆𝑖 作为原序列再进行前缀和。记再次求得前缀和第 𝑖 个是 𝑆𝑆𝑖。

给一个长度 𝑛 的序列 𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛有两种操作：

Modify i x：把 𝑎𝑖 改成 𝑥。
Query i：查询 𝑆𝑆𝑖。

输入格式

第一行给出两个整数 𝑁,𝑀。分别表示序列长度和操作个数。
接下来一行有 𝑁 个数，即给定的序列 𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛。
接下来 𝑀 行，每行对应一个操作，格式见题目描述。

输出格式

对于每个询问操作，输出一行，表示所询问的 𝑆𝑆𝑖 的值。

输入输出样例

输入

5 3
1 2 3 4 5
Query 5
Modify 3 2
Query 5

输出

35
32

说明/提示

1≤𝑁,𝑀≤1e5，且在任意时刻 0≤𝐴𝑖≤1e5。

题目解读

由题意知，题目的意思就是求前缀和的前缀和，下面是一个酣畅淋漓的数学推理

数学推理

举个例子:

//对于   1 2 3 4 5
//   a[]=1 2 3 4 5
//s[1]=1
//s[2]=1+2
//s[3]=1+2+3
//s[4]=1+2+3+4
//s[5]=1+2+3+4+5
//ss[5]=s[1]+s[2]+s[3]+s[4]+s[5]
//     =1*5++2*(5-1)+3*(5-2)+4*(5-3)+5*(5-4)

依此类推，我们可以发现 $ss_{k}$ = $\sum (k-i+1)a_{i}$ = $k\sum a_{i}-\sum(i-1)a_{i}$

方法

我们用两个树状数组 c 与 c1，分别维护 $\sum a_{i}$ ( k 为常数不管)， $\sum (i-1)a_{i}$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long N=1e5+5;
long long n,m,a[N],c[N],c1[N],id[N],ni[N];
long long lowbit(long long x){return (-x)&x;}
void add(long long x,long long y){for(;x<=n+1;x+=lowbit(x))c[x]+=y;}//将 c[x] 加上 y
void add1(long long x,long long y){for(;x<=n+1;x+=lowbit(x))c1[x]+=y;}//将 c1[x] 加上 y
long long sum(long long x){//求 c 的前缀和
	long long ret=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))ret+=c[x];
	return ret;
}
long long sum1(long long x){//求 c1 的前缀和
	long long ret=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))ret+=c1[x];
	return ret;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		add(i,a[i]-0);add1(i,(i-1)*(a[i]-0));//分别向 c 和 c1 加入 a[i] 和 (i-1)*a[i]
	}
	string t;int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>t;
		if(t=="Query"){
			cin>>x;
			cout<<x*sum(x)-sum1(x)<<'\n';//输出结果
		}
		else{
			cin>>x>>y;
			add(x,y-a[x]);add1(x,(x-1)*(y-a[x]));//修改
			a[x]=y;
		}
	}
	return 0;
}