参考：
树作为一种逻辑结构，我们重点来关注两个问题，那就是树的存储结构是什么样的？又可以用来做什么事情？
要明确一点，树也是以结点的形式来展示的。每个结点除了自身的数据外，还需要关联到父子结点的关系中。至于结点本身是顺序存储和链式存储，实际场景中怎么高效怎么来。
树结构的关键之处在于要维护清楚各结点之间的亲友关系。
所以，要怎么存储才能更方便地表示这些关系，并且，方便操作呢？
还要明确一点，不是因为先有数据结构才去应用，而是先有需求然后才发明出适用的一些数据结构，就比如，我们想要在数据量很大的时候也能实现快速地增删改查，就需要使用一些数据结构比如树，我们在某些可以使用树结构的场景中，使用树结构来存储数据，从而让增删改查的效率更高。不同的数据结构有不同的特点和应用场景，所以要根据实际情况来选择。
接下来就带着这些疑惑来看看到底树结构是什么样的？
树的定义
树是n（n>=0）个结点的有限集。当n = 0时，称为空树。在任意一棵非空树中应满足：
- 有且仅有一个特定的称为根的结点。
- 当n>1时，其余节点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
显然，树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了自身，树是一种递归的数据结构。树作为一种逻辑结构，同时也是一种分层结构，具有以下两个特点：
- 树的根结点没有前驱，除根结点外的所有结点有且只有一个前驱。
- 树中所有结点可以有零个或多个后继。
因此n个结点的树中有n-1条边（形象来看就是树的图示中的所有连线）。
对于树的定义，有个重要特征需要理解，那就是树的定义是递归的。怎么进一步理解呢？
上面的图示中整个的就是一棵树，这棵树是一棵大树，这棵大树的根节点是A，好了，现在我们想象着上面的根节点没有了，然后之前根结点的三个分支，就又是三棵独立的树，这三棵树分别以B/C/D为根节点，这种场景下，这三棵树是这棵大树的子树，然后再来看看，如果子树"B"的根节点B没有了，下面的树又是以E/F作为根节点的子树……以此类推，都是这样的逻辑，这就是树的递归性，树下面挂着树，即使最后只有一个节点，这个节点也是一棵树，只不过这样的树只有根节点。
可以看到，树本身也是由树构成的，树作为一种数据结构，其定义中包含了自身的定义，这就是递归的典型特征。递归是一种在数学和计算机科学中常见的概念，它指的是一个实体的定义或问题的解决方案依赖于其自身相同类型的实体或子问题。在树的定义中，每个非空树都是由一个根结点和若干个子树构成的，而这些子树本身也是树，这就形成了一个递归的结构。
此外，树的这种递归结构使得它在计算机科学中有着广泛的应用，比如在文件系统的目录结构、编程语言中的语法分析树、数据库中的索引结构等方面都可以看到树的身影。树的递归性质也为算法设计提供了强大的工具，例如递归函数可以用来遍历树的所有结点，或者计算树的深度等。
基本术语
下面结合图示来说明一下树的一些基本术语和概念。
对这些概念一定要尽量梳理清楚，重点不要搞混“树”和“结点”这两个概念。
考虑结点K。根A到结点K的唯一路径上的任意结点,称为结点K的祖先。如结点B是结点K的祖先，而结点K是结点B的子孙。路径上最接近结点K的结点E称为K的双亲（父结点），而K为结点E的孩子。根A是树中唯一没有双亲的结点。有相同双亲的结点称为兄弟，如结点K和结点L有相同的双亲E，即K和L为兄弟。
树中一个结点的孩子个数称为该结点的度，树中结点的最大度数称为树的度。如结点B的度为2，结点D的度为3，树的度为3。
度大于0的结点称为分支结点(又称非终端结点)；度为0(没有子女结点)的结点称为叶子结点(又称终端结点)。在分支结点中，每个结点的分支数就是该结点的度。
结点的深度、高度和层次。
参考：【数据结构】一张图让你读懂：树的高度、深度、层的区别_数据结构树的高度-CSDN博客
从实际生活来理解
“高度”这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第10层楼的高度、第13层楼的高度，起点都是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且计数的起点是0。
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是0。
“层数”跟深度的计算类似，不过，计数起点是1（生活中，不可能有人说自己家在第0层吧，哈哈。），也就是说根节点的位于第1层。
- 节点的高度：节点到叶子节点的最长路径（边数）
- 节点的深度：根节点到这个节点所经历的边的个数
- 节点的层数：节点的深度+1
- 树的高度：根节点的高度
有序树和无序树。树中结点的各子树（注意，说的是各子树，而不是说各结点）从左到右是有次序的，不能互换，称该树为有序树，否则称为无序树。假设图为有序树，若将子结点位置互换，则变成一棵不同的树。每一棵子树都是有序的。
路径和路径长度。树中两个结点之间的路径是由这两个结点之间所经过的结点序列构成的，而路径长度是路径上所经过的边的个数。
注意:由于树中的分支是有向的，即从双亲指向孩子，所以树中的路径是从上向下的，同一双亲的两个孩子之间不存在路径。
森林。森林是m (m≥0)棵互不相交的树的集合。森林的概念与树的概念十分相近，因为只要把树的根结点删去就成了森林。反之，只要给m棵独立的树加上一个结点，并把这m棵树作为该结点的子树，则森林就变成了树。
二叉树
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态，如下图所示
注意，二叉树可以是空集，此时还没有任何结点；根可以有空的左子树或右子树，或者左、右子树皆为空。
二叉树与度为2的树的区别
1、度为2的的树必须有三个节点以上(否则就不叫度为二了，一定要先存在)，二叉树可以为空。
2、二叉树的度不一定为2,比如斜树。
3、二叉树有左右节点区分，而度为2的树没有左右节点的区分。
这里一定要注意理解和区分，对于普通的树来说，并没有什么左右节点之分，左右节点，只有二叉树的时候，才有这个概念。对于普通的树，并不一定只有两个节点，可能有三个或者更多的节点，这时候，不能被定义为左或者右节点，对于某个父结点来说，其子节点一般都是说第一个孩子节点，然后再有其他的兄弟节点。
另外，普通的树，如果父结点只有一个孩子，那么就只有一个节点，但是当二叉树只有一个节点的时候，必须要明确是左节点还是右节点，由此可见，二叉树是一种有序树。
满二叉树
高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。
形象来说，就是如果一个节点有子节点，那么必须左子节点和右子节点都存在。
完全二叉树
定义
一颗二叉树中，只有最下面两层节点的度可以小于2，并且最下层的叶节点集中在靠左的若干位置上。
特点
叶子节点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子节点集中在树的左部。显然，一颗满二叉树必定是一颗完全二叉树，而完全而二叉树不一定是满二叉树。
总结来说就是：二叉树只有最下面两层允许有度小于2的节点，也就是说，最下面两层的节点可以是叶子结点，也可以有1个子节点，也可以有2个子节点，如果是1个子节点，则这个子节点必须是左子节点而不能是右子节点，如果都是两个子节点，其实同时也就是一棵满二叉树了。
二叉树的存储方式
链式存储
通过指针把分布在散落在各个地址的节点串联在一起，链式存储如图所示：
顺序存储
其实就是用数组来存储二叉树，顺序存储的方式如图：
也就是把二叉树的所有节点按照从上到下从左到右编号，然后将节点数据存放到对应下标的数组位置中。
数组存储的遍历
可以总结出规律，如果父节点的数组下标是i，那么它的左孩子就是2 * i + 1，右孩子就是i * 2 + 2。一般用链式表示的二叉树更有利于我们理解，所以通常都是用链式存储二叉树。
二叉树的遍历方式
深度优先遍历
①前序遍历（递归法，迭代法）中左右
②中序遍历（递归法，迭代法）左中右
③后序遍历（递归法，迭代法）左右中
前序遍历：前序遍历的顺序是根节点 -> 左子树 -> 右子树。在访问每个节点时，首先访问根节点，然后递归地遍历左子树，最后递归地遍历右子树。这种遍历方式常用于创建副本、镜像转换以及表达式树的前缀表达式生成等场景。
中序遍历：中序遍历的顺序是左子树 -> 根节点 -> 右子树。在访问每个节点时，首先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地遍历右子树。对于二叉搜索树而言，中序遍历可以按升序输出所有节点的值，这有助于验证二叉搜索树的正确性。
后序遍历：后序遍历的顺序是左子树 -> 右子树 -> 根节点。在访问每个节点时，首先递归地遍历左子树，然后递归地遍历右子树，最后访问根节点。后序遍历通常用于删除操作或计算树的高度等场景。
可以看到，这里前中后指的是每棵树的根节点的先/中/后搜索顺序。
注意，这里说的遍历是递归遍历子树，关键要理解树的递归性，也就是说，树的子树还是一棵树，子树的子树，仍然是一棵树，只要遇到一棵树，就需要按照既定的遍历方式去遍历。另外要注意，这里说的都是二叉树的遍历方式，不是普通树的遍历方式。
以前序遍历为例来考虑下，从根结点开始，先遍历左子树，注意是子树，不是子结点，遍历完左子树的根结点，常规可能会想接着去遍历根结点的右结点，其实是错误的，因为遍历的是左右子树，而不是左右结点，一定要区分概念。继续，当遍历到左子树的根结点时，发现这个结点还有左子树，因为是递归遍历，所以，又要去遍历左子树的左子树……依次类推，直到左子树的左叶子结点，接下来呢？因为要遍历的是子树，不是子结点，最后一层的子树目前只遍历了左叶子结点，所以接下来就要遍历到最后一层子树的右叶子结点，以完成最后一层左子树的遍历，然后依次往上进行递归返回。
接下来，举例说明
广度优先遍历
①层次遍历（迭代法）
层序遍历：层序遍历按照层次从上到下、从左到右的顺序访问二叉树中的每个节点。这种遍历方式需要使用队列来辅助实现。层序遍历常用于按层次结构处理数据，如打印每一层的节点值或进行广度优先搜索等。
三种遍历算法中，递归遍历左、右子树的顺序都是固定的，只是访问根结点的顺序不同。不管采用哪种遍历算法，每个结点都访问一次且仅访问一次，故时间复杂度都是O(n)。
在递归遍历中，递归工作栈的栈深恰好为树的深度（要到最后一层才会栈返回），所以在最坏情况下，二叉树是有n个结点且深度为n的单支树。
树的递归可以转换成迭代吗？
树的递归可以转换成迭代。
将递归算法转换为迭代算法通常涉及理解递归逻辑、使用栈模拟递归调用栈、识别和优化共有子问题等关键步骤。在计算机科学中，递归和迭代是两种常见的算法设计范式。递归是通过函数自身调用来解决问题的一种方法，它允许一个函数直接或间接地调用自身来解决问题。而迭代则是通过重复应用同一个运算来逼近解决方案的过程，通常使用循环结构实现。
关于树的递归如何转换成迭代，可以参考开头的链接。
二叉查找树
定义
二叉查找树（Binary Search Tree），又被称为二叉搜索树、二叉排序树。设x为二叉树中的一个节点，x节点包含关键字Key，节点x的Key值记为Key[x]。如果y是x的左子树中的一个节点，则Key[y]<=Key[x]；如果y是x的有子树的一个节点，则Key[y]>=Key[x]。
这啥意思？其实就是说二叉查找树里，对于某个节点A，其左子树中任意节点的值都必定不能比节点A中的值要大，其右子树中任意节点的值都必定不能比节点A的值要小，也就是说，二叉查找树是个有序树，值是从左到右递增的。
注意，这里的大小关系中是以子树来描述的，而不是节点，子树是个递归的概念，要注意区别。
特点
1、若任意节点的左子树不空，则左子树上所有的值均小于根节点的值
2、若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于根节点的值（更大于左子树上的值）
3、任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树
二叉搜索树的具体实现
注意，二叉搜索树、二叉排序树和二叉查找树是同一个概念。
构造一个二叉树的结构：
/*二叉树的二叉链表结点结构定义*/ typedef struct BiTNode { int data; //结点数据 struct BiTNode *lchild, *rchild; //左右孩子指针 } BiTNode, *BiTree;查找操作
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */ bool SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p){ if(!T){ *p = f; return FALSE; }else if(key == T->data){ //查找成功 *p = T; return TRUE; }else if(key < T->data){ return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找 }else{ return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找 } }插入操作
有了二叉排序树的查找函数，那么所谓的二叉排序树的插入，其实也就是将关键字放到树中的合适位置而已。
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */ bool SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p){ if(!T){ *p = f; return FALSE; }else if(key == T->data){ //查找成功 *p = T; return TRUE; }else if(key < T->data){ return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找 }else{ return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找 } }有了二叉排序树的插入代码，我们要实现二叉排序树的构建就非常容易了，举个例子：
int i; int a[10] = {62, 88, 58, 47, 35, 73, 51, 99, 37, 93}; BiTree T = NULL; for(i = 0; i<10; i++){ InsertBST(&T, a[i]); }上面的代码就可以创建一棵下图这样的树。
删除操作
二叉排序树的查找和插入都很简单，但是删除操作就要复杂一些，此时要删除的结点有三种情况：
- 叶子结点；
- 仅有左或右子树的结点；
- 左右子树都有的结点；
前两种情况都很简单，第一种只需删除该结点不需要做其他操作；第二种删除后需让被删除结点的直接后继接替它的位置；复杂就复杂在第三种，此时我们需要遍历得到被删除结点的直接前驱或者直接后继来接替它的位置，然后再删除。
代码如下：
/*从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。*/ static bool Delete(BiTree *p){ BiTree q, s; if(p->rchild == NULL){ //右子树为空则只需重接它的左子树 q = *p; *p = (*p)->lchild; free(q); }else if((*p)->lchild == NULL){ //左子树为空则只需重接它的右子树 q = *p; *p = (*p)->rchild; free(q); }else{ //左右子树均不空 q = *p; s = (*p)->lchild; //先转左 while(s->rchild){//然后向右到尽头，找待删结点的前驱 q = s; s = s->rchild; } //此时s指向被删结点的直接前驱，p指向s的父母节点 p->data = s->data; //被删除结点的值替换成它的直接前驱的值 if(q != *p){ q->rchild = s->lchild; //重接q的右子树 }else{ q->lchild = s->lchild; //重接q的左子树 } pree(s); } return TRUE; } /* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点， 并返回TRUE;否则返回FALSE */ bool DeleteBST(BiTree *T, int key){ if(!*T){ return FALSE; }else{ if(key == (*T)->data){ //找到关键字等于key的数据元素 return Delete(T); }else if(key < (*T) -> data){ return DeleteBST((*T) -> lchild, key); }else{ return DeleteBST((*T) -> rchild, key); } } }小结（引申出平衡二叉树）
二叉排序树的优点明显，插入删除的时间性能比较好。而对于二叉排序树的查找，走的就是从根结点到要查找的结点的路径，其比较次数等于给定值的结点在二叉排序树的层数。极端情况，最少为1次，即根结点就是要找的结点，最多也不会超过树的深度。也就是说，二叉排序树的查找性能取决于二叉排序树的形状。可问题就在于，二叉排序树的形状是不确定的。
例如{ 62 , 88 , 58 , 47 , 35 , 73 , 51 , 99 , 37 , 93 } \{62,88,58,47,35,73,51,99,37,93\}{62,88,58,47,35,73,51,99,37,93}这样的数组，我们可以构建如下左图的二叉排序树。但如果数组元素的次序是从小到大有序，如{35,37,47,51,58,62,73,88,93,99},则二叉排序树就成了极端的右斜树，如下面右图的二叉排序树：
也就是说，我们希望二叉排序树是比较平衡的，即其深度与完全二叉树相同，那么查找的时间复杂也就为O(logn)，近似于折半查找。
不平衡的最坏情况就是像上面右图的斜树，查找时间复杂度为O(n)，这等同于顺序查找。
因此，如果我们希望对一个集合按二叉排序树查找，最好是把它构建成一棵平衡的二叉排序树。
只要我们按照二叉平衡树的逻辑去构造数据的存储结构，就可以构造成二叉平衡树，然后操作的时候也按照二叉平衡树去操作即可，就像编码用什么方式去编，解码就用对应的方式去解，这样就没问题了。推荐重点了解平衡二叉树的增删改查等实现。
平衡二叉搜索树
定义
平衡二叉树搜索树：又被称为AVL(Adelson-Velsky and Landis)树，且具有以下性质：它是一颗空树或者它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。如图：
平衡二叉树的好处
平衡二叉树的主要好处在于它能够保持树的平衡，从而优化查找、插入和删除操作的效率。以下是平衡二叉树的好处：
提高查找效率：平衡二叉树通过保持树的高度在对数级别，确保了查找操作的时间复杂度为O(log n)，这使得在大规模数据集中进行快速查找成为可能。
优化插入删除效率：平衡二叉树在插入和删除节点时会自动调整树的结构，以维持平衡状态，这避免了最坏情况下的时间复杂度退化到O(n)，从而保持了操作的高效性。
减少内存消耗：平衡二叉树相比非平衡二叉树，由于其高度较小，可以有效减少内存的使用，尤其是在存储大量数据时。
增强稳定性：平衡二叉树在插入和删除节点时的性能稳定，不会出现因操作而导致性能大幅波动的情况。
支持动态数据集：平衡二叉树支持动态的插入和查找，适合处理不断变化的数据集合，这是哈希表等静态数据结构所不便完成的工作。
广泛应用场景：平衡二叉树在实际应用中具有广泛的使用场景，如数据库系统、搜索引擎等，它们依赖于平衡二叉树来提供高效的数据检索和管理。
易于实现维护：尽管平衡二叉树的实现相对复杂，需要遵守一定的规则和特性，但其结构和操作逻辑清晰，便于理解和实现。同时，一旦建立，平衡二叉树的维护成本相对较低。
总的来说，平衡二叉树是一种高效的数据结构，它在保证操作效率的同时，也提供了良好的稳定性和广泛的应用场景。在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的平衡二叉树实现，并进行相应的优化，以达到最佳的性能表现。
线索二叉树
参考：
我们的二叉树学到现在，会产生两个问题：
- 在n个结点的二叉树中，必定有n+1个空链域（叶子结点的左右子树空间浪费了）
- 二叉树的遍历，无论是递归还是非递归算法，效率都不算高。
那我们能不能利用原本浪费掉的空间，来解决第二个问题呢？
倘若对下图二叉树进行中序遍历，可以得到1、3、6、8、10，我们可以知道3的前驱结点为1，后驱结点为6。但是，这种关系的建立是在完成遍历后得到的，那么，可不可以在建立二叉树的同时记录下前驱后继的关系，这样我们在寻找前驱后继结点时的效率将会大大提升！
我们的前辈们给出了答案：线索化
什么是线索化，如何线索化呢？
现将某结点的空指针域指向该结点的前驱后继，定义规则如下：
- 若结点的左子树为空，则该结点的左孩子指针指向其前驱结点
- 若结点的右子树为空，则该结点的右孩子指针指向其后继结点
这种指向前驱和后继的指针称为线索，将一棵普通的二叉树以某种次序遍历，并添加线索的过程称为线索化。
这里要注意两个问题，
1、并非只有叶子结点有空指针域，叶子结点有两个空指针域，如果某个结点没有左子结点或者没有右子结点，也会有一个空指针域。
2、并非所有结点都能线索化
线索二叉树中如果某个结点没有空指针，则不能直接指向前驱或后继节点。
在线索二叉树中，每个节点的左指针和右指针要么指向其左右孩子节点，要么作为线索（即指向该节点的前驱或后继节点）。当一个节点的左指针或右指针已经指向了其对应的孩子节点时，就无法再用来指向前驱或后继节点。
为了实现线索二叉树的功能，需要确保在构建线索二叉树时，对于每个节点，如果它的左指针或右指针为空，才将其作为线索指向前驱或后继节点。如果节点的指针已经被占用来指向孩子节点，那么就不能再用作线索。
在实际应用中，通常会在构建线索二叉树的过程中，通过递归或迭代的方式遍历整个树，并在遍历过程中检查每个节点的指针是否为空，如果为空则将其设置为线索。这样，就可以确保每个节点的指针要么指向其孩子节点，要么作为线索指向其他节点，从而有效地利用这些指针域。
也就是说，二叉线索树中并非所有的结点都能指向前驱和后继，只是说尽可能地增加线索，尽可能地提高查找某些结点的效率。
问题又来了。。。
既然指针域总是有值的，要么指向的是子树，要么指向的是前驱或者后继，那么，怎么区分节点中的指针域存的是子结点的指针还是前驱后继的指针呢？
为了解决这个问题，我们需要添加标志位ltag和rtag，并定义以下规则
ltag==0，指向左孩子；ltag==1，指向前驱结点
rtag==0，指向右孩子；rtag==1，指向后继结点
二叉树的线索存储结构定义如下：
typedef struct ThreadNode { ElemType data; //数据元素 struct ThreadNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针 int ltag, rtag; //左、右线索标志 }ThreadNode;二叉树的线索化
二叉树的线索化是将二叉链表中的空指针改为指向前驱或后继的线索。而前驱或后继的信息只有在遍历时才能得到，因此线索化的实质就是遍历一次二叉树，线索化的过程就是在遍历的过程中修改空指针的过程。
以下是二叉树进行线索化的详细步骤：
定义结构：需要为二叉树的节点定义一个结构体，其中包括数据域、左右孩子指针以及左右标记位。左右标记位用于指示左右指针是否为线索。
选择遍历方式：根据不同的需求，可以选择先序、中序或后序遍历作为线索化的依据。每种遍历方式对应着不同的线索化过程和结果。
执行线索化操作：在遍历过程中，如果当前节点的左指针或右指针为空，则将其设置为线索，即指向其前驱或后继节点，并设置相应的标记位。同时，更新前驱节点的相应指针和标记位。
维护前驱节点指针：在遍历过程中，需要维护一个前驱节点指针，用于记录遍历过程中当前节点的前一个节点。这个指针在线索化操作中起着关键作用。
综上所述，通过以上步骤，可以将二叉树转换为线索二叉树，从而在遍历过程中更高效地访问节点的前驱和后继信息。
线索二叉树的好处
线索二叉树是一种通过在二叉链表存储结构中利用空指针域来提高遍历效率的数据结构。它的好处在于节省存储空间、加快查找速度等方面。具体特点如下：
节省存储空间：由于线索二叉树使用空的指针域来存储前驱和后继节点的地址，因此它不需要额外的存储空间来维护这些信息。
加快查找速度：在线索二叉树中，每个节点都可以直接访问它的前驱和后继节点，这使得在遍历过程中可以快速地找到下一个或上一个节点，从而提高了查找速度。
便于操作：线索二叉树的结构使得一些操作变得更加方便，例如在中序遍历时，可以直接通过前驱和后继指针进行遍历，而不需要递归或使用栈。
保持二叉树特性：线索二叉树仍然保持了二叉树的基本特性，如每个节点最多有两个子节点，这有助于保持数据的层次结构。
适用多种遍历方式：线索二叉树可以根据不同的遍历方式（如先序、中序、后序）来建立线索，这使得它在不同的应用场景下都能发挥作用。
优化遍历算法：线索二叉树可以优化遍历算法，因为它减少了递归的需要，从而降低了算法的空间复杂度。
易于实现：线索二叉树的实现相对简单，只需要在原有的二叉链表结构上增加两个标志位即可。
提高数据访问效率：在线索二叉树中，可以通过直接访问前驱和后继节点来提高数据访问的效率，特别是在需要频繁访问相邻节点的场景中。
总的来说，线索二叉树通过巧妙地利用二叉链表中的空指针域，不仅节省了存储空间，还提高了遍历效率，使得在一些特定场景下的数据处理更加高效。
具体的自行查阅资料。
二叉搜索树和线索二叉树是同一个东西吗
二叉搜索树（BST）是一种数据结构，它的每个节点都满足左子树上所有节点的值小于根节点的值，右子树上所有节点的值大于根节点的值。这种特性使得二叉搜索树在查找、插入和删除操作时具有对数时间复杂度的优势。
线索二叉树则是对二叉树的一种改进，它在二叉树的节点中增加了线索（类似于指针），以便在不使用递归或栈的情况下直接找到下一个节点。线索二叉树可以看作是一种特殊的二叉树，它通过线索化提高了遍历效率，但它们并不是同一个概念。
红黑树
参考：【数据结构】史上最好理解的红黑树讲解，让你彻底搞懂红黑树-CSDN博客
大家应该都学过平衡二叉树(AVLTree)，了解到AVL树的性质，其实平衡二叉树最大的作用就是查找,AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。AVL树的效率就是高在这个地方。如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理, 那么创建一颗平衡二叉树的成本其实不小. 这个时候就有人开始思考，并且提出了红黑树的理论，红黑树在业界应用很广泛，比如 Java 中的 TreeMap，JDK 1.8 中的 HashMap、C++ STL 中的 map 均是基于红黑树结构实现的。那么红黑树到底比AVL树好在哪里？
红黑树简介
红黑树是一种自平衡的二叉查找树，是一种高效的查找树。它是由 Rudolf Bayer 于1978年发明，在当时被称为平衡二叉 B 树(symmetric binary B-trees)。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的红黑树。红黑树具有良好的效率，它可在 O(logN) 时间内完成查找、增加、删除等操作。为什么需要红黑树？
对于二叉搜索树，如果插入的数据是随机的，那么它就是接近平衡的二叉树，平衡的二叉树，它的操作效率（查询，插入，删除）效率较高，时间复杂度是O（logN）。但是可能会出现一种极端的情况，那就是插入的数据是有序的（递增或者递减），那么所有的节点都会在根节点的右侧或左侧，此时，二叉搜索树就变为了一个链表，它的操作效率就降低了，时间复杂度为O(N)，所以可以认为二叉搜索树的时间复杂度介于O（logN）和O(N)之间，视情况而定。那么为了应对这种极端情况，红黑树就出现了，它是具备了某些特性的二叉搜索树，能解决非平衡树问题，红黑树是一种接近平衡的二叉树（说它是接近平衡因为它并没有像AVL树的平衡因子的概念，它只是靠着满足红黑节点的5条性质来维持一种接近平衡的结构，进而提升整体的性能，并没有严格的卡定某个平衡因子来维持绝对平衡）。首先，红黑树是一个二叉搜索树，它在每个节点增加了一个存储位记录节点的颜色，可以是RED,也可以是BLACK；通过任意一条从根到叶子简单路径上颜色的约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的二倍，因而近似平衡（最短路径就是全黑节点，最长路径就是一个红节点一个黑节点，当从根节点到叶子节点的路径上黑色节点相同时，最长路径刚好是最短路径的两倍）
红黑树效率
红黑树的查找，插入和删除操作，时间复杂度都是O(logN)。查找操作时，它和普通的相对平衡的二叉搜索树的效率相同，都是通过相同的方式来查找的，没有用到红黑树特有的特性。
但如果插入的时候是有序数据，那么红黑树的查询效率就比二叉搜索树要高了，因为此时二叉搜索树不是平衡树，它的时间复杂度O(N)。
插入和删除操作时，由于红黑树的每次操作平均要旋转一次和变换颜色，所以它比普通的二叉搜索树效率要低一点，不过时间复杂度仍然是O(logN)。总之，红黑树的优点就是对有序数据的查询操作不会慢到O(logN)的时间复杂度。
红黑树和AVL树的比较
AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作
红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）
B树和B+树
B树和B+树视频参考：
B树(B-树) - 来由, 定义, 插入, 构建_哔哩哔哩_bilibili
这个视频讲得生动形象，可以看看。
之前说的平衡二叉树、AVL树以及红黑树，都是将数据存在内存中来处理，往往不需要涉及到外存操作，因此，也往往不能处理海量数据，因为内存空间有限，不可能将所有数据都存在内存里。所以在海量数据的场景中，我们都会将数据保存到硬盘中，然后只在内存中维护这些数据的索引，通过索引去硬盘中找到对应的数据（这个过程必然会涉及到fopen/fread/fwrite/fclose等文件操作）。
外存的访问速度很慢，内存的访存速度在ns级别，但是外存的访问速度在ms级别，当数据保存在外存中，我们还是用之前说的平衡二叉树、AVL树以及红黑树来处理，那么效率将无法得到保证。
补充：
内存访问速度和外存访问速度的对比比例差异显著，内存访问速度通常远快于外存。
内存（RAM）是计算机系统中用于暂时存储正在运行的程序和当前使用的数据的地方。它直接与CPU交互，因此其访问速度非常快。现代计算机中，内存的带宽可以达到20-60GB/s，即20000-60000MB/s。
外存（如硬盘、SSD等）则用于长期存储数据，当需要时才将数据调入内存供CPU处理。传统机械硬盘的读写速度一般在100-200MB/s左右，而固态硬盘（SSD）的速度虽然更快，但也通常在200-500MB/s之间，高端产品可能达到更高速度。然而，即使是最快的SSD，其速度也远不及内存。
内存访问速度是外存访问速度的多少倍，这个问题并没有一个固定的答案。以下是对内存和外存访问速度差异的分析：
顺序访问对比：在顺序访问的情况下，内存访问速度大约是硬盘访问速度的6~7倍。这是因为在顺序访问中，数据按照连续的顺序被读取或写入，这种操作对于硬盘来说相对高效，但仍远不及内存的速度。
随机访问对比：在随机访问的情况下，内存访问速度比硬盘快上10万倍以上。这是因为硬盘在随机访问时需要移动读写头到指定位置，这一过程耗时较长，而内存则能直接通过内存地址快速访问数据。
内存与SSD对比：现代顶级固态硬盘（SSD）的读写速度虽然非常快，但仍然无法与内存相比。例如，双通道DDR4 2400MHz的内存条理论极限读写速度可以达到38400MB/s，即37.5GB/s，而即使是最快的SSD也难以达到这一速度。
内存与机械硬盘对比：机械硬盘由于其物理结构的限制，访问速度通常较慢。内存的访问时间通常在纳秒级别，而机械硬盘的访问时间则在毫秒级别或更长。
总的来说，内存访问速度远超外存，这是由于它们的工作原理、物理结构和数据传输方式的不同所导致的。在实际使用中，用户应根据具体需求选择合适的存储设备，以获得最佳的性能和体验。
既然这些数据存放到外存中，外存访问速度又很慢，我们又需要更高的处理效率，怎么办呢？于是就诞生了一种符合该场景使用的树结构，那就是B树以及B+树。
B树是一种多分树，可以显著缩小树的高度，增加结点缓存，从而减少硬盘的访问次数，以此来提升数据访问效率。
参考：什么是B树和B+树？它们在数据库中有何应用？-CSDN博客
B树是一种自平衡的多路查找树，每个节点可以有多个子节点。它通过减少定位记录时的中间过程，加快存取速度，广泛应用于数据库和文件系统中。B树的每个节点都存储了键值以及指向子节点的指针，因此在插入或删除数据时可能会破坏其平衡性，需要进行分裂、合并和转移等操作以保持平衡。
B+树是B树的一种变体，其主要区别在于所有实际数据都存储在叶子节点中，而非叶子节点仅用于索引。这种设计使得B+树在处理大量数据时能够显著提高查询效率，尤其是在范围查询方面表现优异。B+树的叶子节点之间通过链表连接，便于区间查找和遍历。
B树和B+树是两种广泛应用于数据库和文件系统中的数据结构，用于高效地存储和检索数据。以下是对B树和B+树的详细介绍：
B树
基本概念：B树是一种自平衡的多路查找树，每个节点可以有多个子节点。它通过减少定位记录时的中间过程，加快存取速度，广泛应用于数据库和文件系统中。B树的每个节点都存储了键值以及指向子节点的指针，因此在插入或删除数据时可能会破坏其平衡性，需要进行分裂、合并和转移等操作以保持平衡。
结构特点：所有叶子节点位于同一层。每个节点最多有m个子节点，其中m是B树的阶数。除根节点和叶子节点外，每个节点至少有⌈m/2⌉个子节点。根节点至少有两个子节点，除非它是叶子节点。叶子节点之间没有指针相连。
应用场景：B树适用于需要频繁进行插入、删除和查询操作的场景。在数据库中，B树常用于非关系型数据库的索引，如MongoDB，因为它的平衡性和磁盘友好性可以减少I/O操作次数，提高查询效率。
B+树
基本概念：B+树是B树的一种变体，其主要区别在于所有实际数据都存储在叶子节点中，而非叶子节点仅用于索引。这种设计使得B+树在处理大量数据时能够显著提高查询效率，尤其是在范围查询方面表现优异。B+树的叶子节点之间通过链表连接，便于区间查找和遍历。
结构特点：内部节点只存储键而不存储数据，数据只存储在叶子节点中。内部节点可以包含更多的键，因为不需要存储数据。所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的关键字恰好是有序的。
应用场景：B+树广泛应用于关系型数据库的索引，如MySQL、Oracle和SQL Server。由于其叶子节点构成有序链表的特点，B+树特别适合频繁的范围查询和顺序访问。在现代操作系统中，如Windows、Mac、Linux等，B+树被用作文件系统的首选数据结构。
总的来说，B树和B+树都是高效的数据存储和检索结构，它们在数据库和文件系统中发挥着重要作用。选择使用哪种树结构取决于具体的应用场景和需求。
具体参考：
迄今为止，已经介绍了《 二叉查找树 》和《 AVL树 》，我们始终假设可以把整个数据结构存储在内存中。可是，如果数据多到内存装不下，这就意味着必须把数据放在磁盘上，显然这些数据结构不再适用。
问题在于磁盘的I/O速度是远远不如内存访问速度的，然而从一棵树中查找到某个元素，必须从根节点一层层往下找，这每一次查找便是一次I/O操作。为了提高性能，就必须要减少查找的次数。
如能减少树的高度、增加每个节点中的元素数，便是种有效的解决方案。实现这种想法的一种方法是使用B树。
哈夫曼树和哈夫曼编码
哈夫曼树
在许多应用中，树中结点常常被赋予一个表示某种意义的数值，称为该结点的权。从树的根到任意结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积，称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度......
哈夫曼编码
哈夫曼编码是一种被广泛应用而且非常有效的数据压缩编码。
赫夫曼当前研究这种最优树的目的是为了解决当年远距离通信(主要是电报)的数据传输的最优化问题。
更多参考开头的链接文章。
补充
其实，仔细想想就能知道，不管是什么样的数据结构，在真正存储数据的时候，要么是连续的，要么就是不连续的。在数据结构和算法里，分了四种存储结构，分别是顺序存储、链式存储、索引存储和哈希存储，其中，顺序存储和链式存储就是最基本的存储结构，后两种也是基于前两种然后又有所延伸的存储方式，延伸之处在于，除了存储数据，还需要维护另外的一个“句柄”，顺序表直接通过下标来访问数据，链表通过依次的指针来访问数据，但是索引存储需要通过另外的索引表来访问数据，哈希表需要通过哈希函数和哈希值来访问数据。另外，索引表本身的存储也需要通过合适的方式来进行。不必过于纠结。
树和链表的区别
树和链表是数据结构中两种常见的结构，它们在多个方面存在区别。以下是具体分析：
结构形式
链表：链表是一种线性数据结构，每个节点包含数据部分和指向下一个节点的指针。
树：树是一种非线性数据结构，由n(n>=0)个结点的有限集组成，具有层次关系。
存储方式
链表：链表中的数据元素在内存中是非连续存放的，通过指针链接各个节点。
树：树的存储方式可以是顺序存储或链式存储，但通常使用链式存储来表示父子节点的关系。
遍历方式
链表：链表的遍历通常是线性的，从头节点开始依次访问到尾节点。
树：树的遍历有多种方式，如前序遍历、中序遍历、后序遍历等。
应用场景
链表：适用于频繁插入和删除操作的场景，如实现队列、栈等数据结构。
树：适用于需要表示层级关系的数据，如文件系统、组织结构等。
效率
链表：链表的插入和删除操作效率高，但查找效率相对较低。
树：树的查找效率较高，特别是二叉搜索树，但插入和删除操作的效率取决于树的平衡性。
复杂性
链表：链表的结构相对简单，易于理解和实现。
树：树的结构较为复杂，涉及根节点、子节点、父节点等多个概念。
综上所述，链表和树各有其特点和适用场景。链表以其简单的结构和高效的插入删除操作而著称，而树则以其层次结构和高效的查找性能而受到青睐。在选择数据结构时，应根据具体需求和场景来决定使用链表还是树。
使用链表的地方能不能用树来替代？
在数据结构中，链表和树都是常用的数据存储方式，它们各有优缺点。链表是一种线性数据结构，而树是一种非线性数据结构，适用于表示层级关系的数据。以下是对使用链表的地方能否用树来替代的详细分析：
查询效率：链表的查询效率相对较低，因为需要遍历链表来查找元素，时间复杂度为O(n)。而树（特别是二叉搜索树）的查询效率较高，平均情况下时间复杂度为O(log n)。因此，如果应用场景中查询操作频繁，使用树可能更合适。
插入删除效率：链表的插入和删除操作相对简单，特别是在已知位置的情况下，时间复杂度为O(1)。而树的插入和删除操作可能需要更多的时间来维护树的平衡，例如AVL树或红黑树，其时间复杂度为O(log n)。因此，如果应用场景中插入和删除操作非常频繁，链表可能更有优势。
空间利用：链表的空间利用率较高，因为每个节点只包含一个指向下一个节点的指针。而树的每个节点至少包含两个指针（左子树和右子树），这可能会导致更高的空间开销。因此，在空间有限的情况下，链表可能是更好的选择。
实现难度：链表的实现相对简单，适合初学者理解和使用。而树的实现相对复杂，需要更多的时间和精力来掌握。因此，如果项目时间紧迫或者开发人员对数据结构的理解不够深入，使用链表可能更为合适。
特定场景适用性：在某些特定场景下，链表可能是更好的选择。例如，在实现队列、栈等数据结构时，链表可以提供高效的操作。而在需要表示层次关系的数据时，如文件系统、组织结构等，树则更为合适。
综上所述，是否使用树来替代链表取决于具体的应用场景和需求。在选择数据结构时，应综合考虑查询效率、插入删除效率、空间利用、实现难度以及特定场景的适用性等因素，以做出最佳决策。
树的查找效率和链表的查找效率哪个更高？
树的查找效率通常高于链表，特别是在处理大量数据时。具体分析如下：
树的查找效率
二叉搜索树（BST）：在平均情况下，查找、插入和删除操作的时间复杂度都是O(logn)。然而，在最坏的情况下（例如，树退化成链表），这些操作的时间复杂度会降为O(n)。
平衡二叉树（如AVL树、红黑树）：通过自平衡机制，确保树的高度保持在对数级别，从而保证查找、插入和删除操作的时间复杂度稳定在O(logn)。
链表的查找效率
链表的查找操作需要从头节点开始逐个遍历，直到找到目标元素或遍历完整个链表。因此，查找操作的时间复杂度是O(n)，其中n是链表中的元素数量。
综上所述，树结构（尤其是平衡二叉树）在查找效率上通常优于链表，特别是在处理大规模数据集时。然而，选择哪种数据结构还需根据具体应用场景来决定。
树的查找效率和顺序表的查找效率哪个更高？
树的查找效率和顺序表的查找效率哪个更高，取决于具体的查找算法和数据结构的特性。以下是对这两种数据结构的详细分析：
顺序表的查找效率
顺序查找：在最坏的情况下，需要遍历整个顺序表，时间复杂度为O(n)。
二分查找：如果顺序表是有序的，可以使用二分查找，其时间复杂度为O(log n)。
树的查找效率
二叉搜索树（BST）：平均情况下，查找的时间复杂度为O(log n)，但在最坏的情况下（如退化成链表），时间复杂度为O(n)。
平衡二叉树（如AVL树）：通过旋转操作保持树的平衡，确保最坏情况下的时间复杂度为O(log n)。
红黑树：一种自平衡的二叉查找树，查找、插入和删除操作的时间复杂度均为O(log n)。
B树和B+树：适用于大规模数据的存储和检索，查找的时间复杂度为O(log n)。
综上所述，树的查找效率通常高于顺序表的查找效率，尤其是在处理大规模数据时。然而，具体选择哪种数据结构还需根据应用场景和数据特性来决定。
树的应用场景非常广泛，以下是一些常见的应用场景：
文件系统：文件系统通常使用树的结构来组织文件和目录，每个目录是一个节点，文件是叶节点。
数据库索引：数据库索引可以使用树的结构来实现高效的数据查找和排序，例如二叉搜索树（BST）或平衡二叉树（AVL树）。
编译器设计：编译器中的语法分析阶段通常使用语法树来表示源代码的结构。
网络路由：路由表可以使用树的结构来实现快速的路由查找。
人工智能：决策树是一种常用的人工智能算法，用于解决分类和回归问题。
游戏开发：游戏中的场景图和动画系统通常使用树的结构来管理游戏对象的层级关系。
数据压缩：哈夫曼树广泛应用于数据文件压缩，是一种有效的编码方法。
操作系统：Linux操作系统中进程的调度使用了红黑树。
XML和HTML解析：编写XML和HTML等标记语言的解析器时，不可避免地会用到树这种数据结构。
任务调度：有向无环图（DAG）常常用来表示任务调度、项目管理等问题，而树是一种特殊的图结构，可以用来表示这种关系。
动态集合：二叉搜索树可以用于实现动态集合，支持高效的插入、删除和查找操作。
总之，这些应用场景展示了树作为一种重要的数据结构的多样性和实用性。在实际应用中，选择合适的树类型和结构对于提高程序的效率和性能至关重要。
二叉树大家一定听说很多了，但是真正应用场景大家有没有考察过呢？
用的最多的应该是平衡二叉树，有种特殊的平衡二叉树红黑树，查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。还有哈夫曼树编码方面的应用。B-Tree，B+-Tree在文件系统中的应用。
Dijkstra算法是最短路径算法中为人熟知的一种，是单起点全路径算法。该算法被称为是“贪心算法”的成功典范。该算法如果不优化速度非常慢，如果用二叉树算法优化效率快很多，类似的，很多人工智能算法都是用二叉树优化的，后面还会继续介绍项目。
树结构的增删改查效率？
树结构的增删改查效率取决于树的平衡性、节点数量以及树的类型。以下是对树结构在增删改查操作中的效率分析：
插入操作：在平衡二叉搜索树（如AVL树或红黑树）中，插入操作的时间复杂度通常为O(log n)，其中n是树中节点的数量。这是因为平衡树通过旋转和重新着色来保持其平衡性质，使得树的高度保持在对数级别。对于非平衡树，最坏情况下的插入时间复杂度可能达到O(n)。
删除操作：删除操作的时间复杂度与插入类似，在平衡二叉搜索树中通常为O(log n)，因为删除后可能需要进行树的平衡调整。在非平衡树中，删除操作的最坏时间复杂度同样可能达到O(n)。
修改操作：修改操作通常涉及到先找到需要修改的节点，然后进行更新。在平衡二叉搜索树中，查找和更新的时间复杂度都是O(log n)。在非平衡树中，查找和更新的最坏时间复杂度可能达到O(n)。
查询操作：查询操作的效率也依赖于树的平衡性。在平衡二叉搜索树中，查询操作的时间复杂度为O(log n)，因为可以通过二分查找快速定位到目标节点。在非平衡树中，查询的最坏时间复杂度可能达到O(n)。
总的来说，树结构的增删改查效率受到树的平衡性影响较大，平衡二叉搜索树在这些操作上通常表现出较高的效率。在实际应用中，选择合适的树类型和结构对于提高程序的效率和性能至关重要。
查找效率最高的数据结构？
查找效率最高的数据结构取决于具体的应用场景和数据分布。以下是几种常见的高效查找数据结构及其特点：
二叉搜索树（BST）：二叉搜索树是一种基础的二叉树结构，其查找、插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。然而，在最坏情况下（如完全不平衡的树），这些操作的时间复杂度可能退化到O(n)。
二叉平衡树（AVL）：AVL树是自平衡的二叉搜索树，它通过旋转操作保持树的平衡，从而确保查找、插入和删除操作的时间复杂度始终为O(log n)，即使在最坏情况下也是如此。
二叉伸展树（Splay Tree）：伸展树是一种自调整的二叉搜索树，它在每次访问后通过旋转操作将最近访问的节点移动到根部，从而加速未来的访问。伸展树在均摊意义上提供了O(log n)的查找效率。
哈希表（Hashtable）：哈希表通过哈希函数将键映射到存储位置，从而实现平均常数时间复杂度O(1)的查找效率。哈希表在处理大量数据时尤其高效，但可能会遇到哈希冲突的问题。
跳表（Skip List）：跳表是一种随机化的数据结构，它通过多级索引实现快速查找，类似于多级链表。跳表在有序数据查询中表现出色，查找效率通常为O(log n)。
红黑树（Red-Black Tree）：红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它通过特定的颜色标记和旋转规则保持树的平衡，确保查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。
综上所述，没有一种数据结构在所有场景下都是最优的。选择合适的数据结构需要根据具体问题的需求、数据的特性以及操作的类型来决定。例如，如果数据量非常大且频繁进行查找操作，哈希表可能是最佳选择；如果需要保持数据的有序性并且频繁进行范围查询，那么跳表或AVL树可能更合适。
为什么二叉树的查找效率那么高？
二叉树是一种广泛应用于计算机科学和信息技术领域的数据结构，其高效查找能力使其在许多应用场景中成为首选。以下是二叉树查找效率高的原因分析：
二叉搜索树的结构特性
有序性：二叉搜索树的每个节点都遵循左子节点小于父节点，右子节点大于父节点的规则。这种有序性使得查找操作可以通过比较节点值来快速缩小搜索范围。
分治策略：在查找过程中，每次比较都会将搜索空间减半，从而实现快速定位。
平衡二叉树的应用
AVL树：通过旋转操作保持树的平衡，确保任何节点的两个子树的高度差不超过1，从而保证查找效率。
红黑树：通过颜色标记和旋转操作维持树的近似平衡，提高查找效率。
磁盘I/O操作的优化
B树和B+树：通过增加节点的元素数量和分支数量，减少磁盘寻址加载次数，提高查找效率。
文件系统中的应用：B树和B+树因其高效的磁盘I/O性能，常用于数据库索引和文件系统中。
总的来说，二叉树之所以查找效率高，主要得益于其有序性和分治策略。通过引入平衡二叉树如AVL树和红黑树，可以进一步优化查找性能。同时，针对磁盘存储的数据结构如B树和B+树，通过减少磁盘I/O操作次数，提高了大规模数据的查找效率。
为什么树越平衡效率越高
树结构在计算机科学中扮演着至关重要的角色，特别是在数据存储和检索方面。平衡树作为一种特定的树结构，因其高效的查找性能而受到广泛关注。以下是对树越平衡效率越高的原因分析：
减少搜索路径长度
路径缩短：平衡树通过维持左右子树的高度差不超过1，确保了从根节点到任意叶子节点的路径长度尽可能短。
时间复杂度降低：由于路径长度的减少，查找、插入和删除操作的时间复杂度得以降低，通常为O(log n)。
提高磁盘I/O效率
磁盘访问次数减少：在数据库系统中，B+树等平衡树结构通过减少树高，降低了磁盘I/O操作的次数。
节点利用率提升：平衡树的每个节点都被充分利用，避免了因节点空闲而导致的空间浪费和额外的I/O开销。
优化内存使用
节点大小控制：平衡树通过控制节点的大小，使得每个节点都能在一次内存访问中被完全加载，从而提高内存访问效率。
缓存友好性增强：平衡树的结构有助于提高数据的缓存命中率，因为相关数据更可能集中在连续的内存区域。
维护数据结构的稳定
旋转操作减少：与AVL树相比，红黑树等平衡树结构通过放宽平衡条件，减少了旋转操作的频率，从而降低了维护成本。
自平衡特性：平衡树具有自平衡的特性，即使在最坏的情况下，也能保证操作的效率不会显著下降。
适应大规模数据处理
扩展性强：平衡树能够有效地处理大量数据，因为它们的结构和操作算法都设计得能够适应数据量的增加。
动态调整能力：平衡树在插入和删除节点时能够动态调整自身结构，保持平衡状态，这对于动态变化的数据集尤为重要。
支持复杂查询操作
范围查询优化：B+树等平衡树结构支持高效的范围查询，因为它们的叶子节点包含了所有数据记录，并且是有序的。
多条件查询支持：平衡树的结构使得基于多个条件的查询变得更加高效，因为它可以通过遍历树的不同分支来快速定位数据。
提高系统整体性能
并发访问支持：平衡树的结构有助于实现高效的并发访问控制，因为它可以更容易地锁定特定部分的树结构，而不是整个树。
故障恢复能力：在发生故障时，平衡树的结构有助于快速恢复数据，因为它的有序性和分层特性使得重建和修复过程更加简单。
综上所述，平衡树之所以效率高，是因为它在多个层面上优化了数据存储和检索的性能。通过减少搜索路径长度、提高磁盘I/O效率、优化内存使用、维护数据结构的稳定、适应大规模数据处理、支持复杂查询操作以及提高系统整体性能，平衡树成为了处理大量数据时不可或缺的工具。
直观体会下，假如有1000个数据，用线性表结构比如链表来存储，那么就有1000个结点，如果要搜索到最后一个数，需要查找1000次，但是，如果用二叉树结构来存储，需要的高度是多少呢？1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，只需要10层二叉树即可，加上其二分性，搜索次数大大减少。
前者时间复杂度是n=1000，后者时间复杂度是logn=3。