洛谷 P3205 [HNOI2010] 合唱队

思路

先设 $dp[i][j]$ 为区间 $[i,j]$ 的队形方案数。

考虑如何转移：对于区间 $[i,j]$ 来说，最后一个入队的要么是 $i$，要么是 $j$。
所以分类讨论：

1. 当 $j$ 为最后一个入队的时，$i$ 与 $j-1$ 都可能是倒数第二个入队的。要满足的条件分别是 $h[i]<h[j]$ 和 $h[j-1]<h[i]$。
2. 当 $i$ 为最后一个入队的时，$j$ 与 $i+1$ 都可能是倒数第二个入队的。要满足的条件分别是 $h[i]<h[j]$ 和 $h[i]<h[i+1]$。

发现上一个状态有两种，即：在上一个状态中，最后一个进来的数（也就是当前状态的倒数第二个进来的数）是在【队尾/队头】。

因此我们要丰富一下状态定义：设 $dp[i][j][0]$ 表示最后一个进来的数在【队头】的方案数，$dp[i][j][1]$ 表示最后一个进来的数在【队尾】的方案数。最后答案就是 $dp[1][n][0]+dp[1][n][1]$。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 7;
const int mod  = 19650827;

int n, a[maxn];
int dp[maxn][maxn][2];
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	    scanf("%d", a + i), 
		dp[i][i][0] = 1;

	for (int len = 2; len <= n; ++len) {
		for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
			int j = i + len - 1;
			
			if (a[i] < a[j]) dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + dp[i][j - 1][0]) % mod;
			if (a[j - 1] < a[j]) dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + dp[i][j - 1][1]) % mod;
		    
		    if (a[i] < a[j]) dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i + 1][j][1]) % mod;
			if (a[i] < a[i + 1]) dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i + 1][j][0]) % mod;
		}
	}
	printf("%d\n", (dp[1][n][0] + dp[1][n][1]) % mod);
	return 0;
}