连续介质热力学的势能与应变能

经典力学中，保守力场的情况下（力可由某个势能函数$U(\mathbf{r})$导出），可对牛顿第二定律进行积分得到能量守恒定律：

$$\mathcal{K}+\mathcal{U}=const.$$

但是在连续介质力学中情况则不同，因为力包括体积力和表面力，其中内力涉及到应力假说，因此需要对势能函数做新的扩展。

1. 体积力

首先考虑体积力$\mathbf{f}$，当体积力是保守力，即$f_k=-U_{,k}$，则能量守恒定律可写为一个更为常见的形式，为此回忆文章1中的体积力的外力功的功率（(4.2.5)右侧第一项）：

$$\mathcal{W}={\oint }_V\rho f_k{v}_k\mathrm{d}v+{\int }_S{t}_{lk}{v}_k{n}_l\mathrm{d}a(\mathrm{4.2.5})$$

代入保守力的势函数形式，外力功的功率可写为：
$${\oint }_V\rho f_k{v}_k\mathrm{d}v=-{\oint }_V\rho U_{,k}{v}_k\mathrm{d}v(\mathrm{4.3.2})$$

可证明(4.3.2)写为：

$$-{\oint }_V\rho U_{,k}{v}_k\mathrm{d}v=\underset{\dot{\mathcal{U}}}{\underbrace{\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}{\int }_V\rho U\mathrm{d}v}}+{\int }_{V}U\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\rho \mathrm{d}v)$$

式中$\mathcal{U}$为体积力的势能。将(4.2.5)中的体积分项用(4.3.2)代替，结合能量守恒定律（文章1的(4.2.2)），得到（推导过程见附录）：

$$\dot{\mathcal{K}}+\dot{\mathcal{E}}+\dot{\mathcal{U}}={\int }_S{t}_{lk}{v}_k{n}_l\mathrm{d}a+Q+{\int }_{V}U\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\rho \mathrm{d}v)(\mathrm{4.3.4})$$

当右端为零，则上式成为连续介质的机械能守恒定律，也就是：

$$\mathcal{K}+\mathcal{U}+\mathcal{E}=const.$$

注意，上述机械能守恒定律的前提是体积力为保守力，且(4.3.4)右侧各项为零。

2. 表面力

上述讨论了体积力为保守力的情况，现在讨论表面力，后面将证明这将引出应变能的概念。

对于非极性材料，存在应力张量的分解，即应力张量可分解为两个对称张量：

$$\mathbf{t}={\mathbf{t}}^E+{\mathbf{t}}^D,t_{kl}=t_{kl}^E+t_{kl}^D(\mathrm{4.3.6})$$

式中，${\mathbf{t}}^E$是可逆的部分，可由一个势得到；${\mathbf{t}}^D$是不可逆的（耗散）部分，称为超弹性应力。我们假设超弹性应力${\mathbf{t}}^E$可以由一个势函数得到：

$$\rho \dot{\tau }=t_{kl}^E{d}_{lk}=t_{kl}^E{v}_{l,k}(\mathrm{4.3.7})$$

将(4.3.6)(4.3.7)代入局部形式的能量守恒定律（文章1的(4.2.9)），并积分：

$$\underset{\dot{\mathcal{E}}}{\underbrace{{\int }_V\rho \dot{\epsilon }\mathrm{d}v}}=\underset{\dot{\mathcal{T}}}{\underbrace{{\int }_V\rho \dot{\tau }\mathrm{d}v}}+\underset{\mathcal{D}}{\underbrace{{\int }_V{t}_{lk}^D{d}_{kl}\mathrm{d}v}}+\underset{Q}{\underbrace{{\int }_V(q_{k,k}+\rho h)\mathrm{d}v}}(\mathrm{4.3.8})$$

式中$\mathcal{T}$和$\mathcal{D}$分别是总应变能和总耗散能功率。

值得指出的是文章1的(4.2.9)是在局部守恒定律成立的情况下得到的，如果在局部守恒定律不成立时，得到更一般形式的能量守恒定律（可对照文章1的第3节加深理解）：

$$\dot{\mathcal{E}}=\dot{\mathcal{T}}+\mathcal{D}+Q-\dot{\mathcal{K}}-{\int }_V\tau \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\rho \mathrm{d}v)+{\int }_V\left(t_{lk,l}+\rho f_k\right)v_k\mathrm{d}v(\mathrm{4.3.10})$$

在$\epsilon =\tau$的情况下，式(4.3.8)写为：

$$\mathcal{D}+Q=0$$

表示耗散能全部转化为热量。

3. 引入超弹性应力

式(4.3.7)的存在可以引入超弹性应力。根据Eringen(1980, P124-125)，得到：

$$\begin{gathered} T_{Kl}^E={\rho }_0\frac{\partial \tau }{\partial x_{l,K}} \\ {T}_{KL}^E={\rho }_0\frac{\partial \tau }{\partial x_{k,K}}{X}_{L,k} \end{gathered}$$

考虑一种特殊情况，势函数只依赖于$j=\det x_{k,K}={\rho }_0/\rho$，此时得到超弹性应力：

$$t_{kl}^E=-\pi {\delta }_{kl}$$

式中的$\pi$为弹性静水压力：

$$\pi (j)=-{\rho }_0\frac{\partial \tau }{\partial j}$$

于是(4.3.7)：

$$\rho \dot{\tau }=-\pi v_{k,k}$$

根据关系式$\mathrm{D}(\mathrm{d}v)/\mathrm{D}t=v_{k,k}\mathrm{d}v$，可得到：

$$\mathcal{T}=-{\int }_V\pi \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathrm{d}v)+{\int }_V\tau \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\rho \mathrm{d}v)$$

通常仅假设静水压力与时间有关，$\pi =\pi (t)$，于是上式：

$$\dot{\mathcal{T}}=-\pi \mathcal{V}$$

参考资料

• 文章1：连续介质热力学的能量守恒定律