LC串联带初始值的时域表达式

LC串联，在t0时刻接入直流电压$U_{in}$。
电感电流$i(t)$和电容电压 $u_c(t)$的时域表达式可通过二阶微分方程求解。以下是推导过程与结果：

1. 微分方程建立

电感 $L$与电容 $C$串联，接入直流电压源 $U_{\text{in}}$。根据基尔霍夫电压定律$KVL$，有：

$$U_{\text{in}}=L\frac{di}{dt}+u_c$$

$$i=C\frac{d{u}_c}{dt}$$

2. 化简为二阶微分方程

将$i=C\frac{d{u}_c}{dt}$ 代入 KVL 方程，消去 $i$：
$$U_{\text{in}}=L\frac{d}{dt}\left(C\frac{d{u}_c}{dt}\right)+u_c$$

整理后得到二阶方程：
$$LC\frac{d^2{u}_c}{d{t}^2}+u_c=U_{\text{in}}$$

3. 求解微分方程

齐次方程通解

齐次方程$LC{u}_c^{\prime \prime }+u_c=0$的通解为振荡形式：

$$u_c^{\text{(hom)}}(t)=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)$$
其中谐振角频率：
$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

非齐次方程特解

设特解为常数$u_c^{\text{(p)}}=U_{\text{in}}$。代入方程：
$$LC\cdot 0+U_{\text{in}}=U_{\text{in}}$$
成立，即特解有效。

通解与初始条件

电容电压的总解为：
$$u_c(t)=\underset{\text{特解}}{\underbrace{U_{\text{in}}}}+\underset{\text{齐次解}}{\underbrace{A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)}}$$

利用初始条件 $u_c(0)=u_0$和$i(0)=i_0$：

1. 代入 $t=0$：
   $$u_c(0)=U_{\text{in}}+A=u_0⟹A=u_0-U_{\text{in}}$$

2. 求导求初始电流：
   $$\frac{d{u}_c}{dt}=-\omega A\sin (\omega t)+\omega B\cos (\omega t)$$

$$i(0)=C\cdot {\frac{d{u}_c}{dt}|}_{t=0}=C\omega B=i_0⟹B=\frac{i_0}{C\omega }=i_0\sqrt{\frac{L}{C}}$$

4. 最终表达式

电容电压

$$u_c(t)=U_{\text{in}}+(u_0-U_{\text{in}})\cos (\omega t)+i_0\sqrt{\frac{L}{C}}\sin (\omega t)$$

电感电流

对$u_c(t)$求导并乘以 $C$：
$$i(t)=C\frac{d{u}_c}{dt}=-C\omega (u_0-U_{\text{in}})\sin (\omega t)+i_0\cos (\omega t)$$

将 $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$代入后化简：
$$i(t)=-\frac{u_0-U_{\text{in}}}{\sqrt{\frac{L}{C}}}\sin (\omega t)+i_0\cos (\omega t)$$