数模学习：一，层次分析法

基本定位：

适用于解决评价，选择类问题（数值不确定，需要自己结合资料数据等自己填写）。

引入：

若要解决选择类的问题，打分的方式最为常用——即采用权重表：

各指标权重之和为1，各方案在某指标上的打分之和也应为1. 

那么我们来看一道例题：

A想去旅游，在查阅网上攻略后，初步选择了苏杭，北戴河，桂林三地之一作为目标景点。

请你确定评价指标，形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案：

 评价类问题的入手思路：

1，我们评价的目标是什么？

2，我们为了达成这个目标，有哪几种方案？

3，评价的标准或者说指标是什么？

在本题中：

1，为A 找到最佳的景点。

2，三地。

3，答案常常需要根据题目的背景资料，常识，网上搜集的资料进行结合，筛选出最合适的指标

网上资料搜索推荐：

1，知网——引用论文，同时学习分析方法

2，https://search.chongbuluo.com/

那么假设现在已经找到了以下五个指标：

景色，花费，居住，饮食，交通；

列出权重表：

那么剩下的就是找到各指标的权重大小：

问题——当分析多因素对于某一问题的影响大小时，单独分析某一个因素的影响可能会有失偏颇

解决方法：

采用分而治之的思想——要求被分析对象两两指标之间进行比较，根据最终的比较结果来推算权重

——这就是层次分析法的思想。 

层次分析法的思想：

 总结：

上面的表格为一个5 X 5 的矩阵，即为A，对应元素即为. 具有如下特点：

1，表示的是与指标j相比，指标i的重要程度。

2，满足（称该矩阵为正互反矩阵）

上述矩阵即为层次分析法中的判断矩阵

同样方法也能用判断矩阵得到各个方案对于某一因素的权重大小

PS：一个可能出现矛盾的地方：

例如：

苏杭 = A， 北戴河 = B，桂林 = C；

苏杭比北戴河景色好一点：A > B； 苏杭和桂林景色一样好：A = C；

北戴河比桂林景色好一点：B > C;

此种情况应如何解决？

首先引入一致矩阵的概念：

一致矩阵：

若所构造的判断矩阵满足，则称其为一致矩阵。

满足——各行（列）之间成倍数关系

我们在使用判断矩阵求权重之前，就必须对其进行一致性检验。

进行一致性检验的意义：

可能存在的问题：

例如：

设定苏杭 = A，北戴河 = B，桂林 = C；

苏杭比北戴河景色好一点：A > B;   苏杭和桂林景色一样好： A = C；

北戴河比桂林景色好一点： B > C;

此类题中出现了前后相矛盾的情况

故一致性检验的目的：为了检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的区别

引理基础：

1，A为n阶矩阵，且r(A) = 1，则A有一个特征值tr(A),其余特征值均为0；

     因为一致矩阵的各行成比例，故矩阵的秩一定为1，有一个特征值为n，其余特征值均为0；

2，n阶正互反矩阵A为一致矩阵时，当且仅当最大特征值 = n；

    当n阶正互反矩阵A非一致时，一定满足最大特征值 > n;

    判断矩阵越不一致，最大特征值与n相差越大；

一致性检验的步骤：

1，计算一致性指标CI；

2,查找对应的平均随机一致性指标RI：

用随机方法构造500个样本矩阵，并随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值D，并定义：

3，计算一致性比例CR：

 若CR < 0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正

判断矩阵怎么计算权重：

若我们所构造的判断矩阵已通过一致性检验。

法1（算术平均法）：

 注意：权重最终值一定要进行归一化处理。

苏杭 = 1 / (1 / 2 + 1 + 1/ 4)

北戴河 = 1/2  / ( 1 + 1 / 2 + 1 / 4)

桂林 = 1 / 4 / (1 +1 / 2 +1 / 4 )

形似的，对于存在着误差的判断矩阵，

进行相同处理，对于每一列的计算结果，其答案有可能均不相同，那么判断矩阵的计算结果即为n列结果的平均值。（算数平均法）

故按算术平均法计算权重步骤如下：

1，将判断矩阵进行归一化（每一个元素除以所在列的的和）

2，将归一化的各列相加（按行求和）

3，将相加后得到的向量中每一个指标除以总列数后，即可得到权重向量；

法二，特征值法求权重：（最常用）

一致矩阵有一个特征值n，其余特征值均为0,。另外，特征值为n时，对应的特征向量刚好为

 又因为对于一致矩阵，1 / a1n  = an1;，即特征向量即是一致矩阵的第一列。

若判断矩阵的一致性检验结果可以接受，那么就可以仿照一致矩阵的计算方法。

第一步：求出矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。

第二步：对求出的特征向量进行归一化处理后即可得到权重

对于最终结果的处理：

 推荐使用EXCEL表格快速计算表格结果。

要点：通过F4锁定单元格进行相同运算。

层次分析法：

一，画出层次分析图

分析系统中个元素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

（注意：若使用了层次分析法，那么层次分析图要放在建模论文中）

 二，构造判断矩阵：

三，由判断矩阵计算被比较元素的相对权重，并进行一致性判断（检验通过才能使用权重）：

       三种方法：

       1，算术平均法； 2，几何平均法；  3，特征值法；

 推荐比赛时，三种方法都使用。

在结论时便可加上——“为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法计算权重。再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析。这样避免了采用单一方法产生的偏差，得到的结论更全面，更有效”

若一致性检验结果  > 0.1:尽量往一致性矩阵方向靠拢（各行各列均成倍数）

四，运用EXCEL 表格对计算数值，并将结果进行排序

层次分析法的局限性：

一，评价的决策层不能太多：

一是判断矩阵会与一致矩阵的差异很大；

二是平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15；

二，若决策层中指标的数值已知，那么我们若再使用自己填写的判断矩阵，则会加大误差，所以此情况不能使用层次分析法。

层次分析法的代码实现：

%%输入判断矩阵：

 clear;
 clc;
disp("请输入判断矩阵A =  ")
A = [1 1 4 1/3 3;
     1 1 4 1/3 3;
     1/4 1/4 1 1/3 1/2;
     3 3 3 1 3;
     1/3 1/3 2 1/3 1]
%矩阵的输入既可以分行写，也可以写在一行中；

%%方法1，算术平均法计算权重：

% 第一步：将判断矩阵按照列进行归一化（每一个元素除以其所在列的和）
sum_A = sum(A)  %返回一个行向量，为每一列元素的总和。
[n,n] = size(A)  % 返回矩阵的行数与列数，也可写作：n = size(A,1)
SUM_A = repmat(sum_A , n, 1)   %得到一个n * 1 的列向量，每一行元素为sum_A.目的是当做原矩阵进行 
                                 归一化的分母
(
   %还有一种写法为：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n
        SUM_A = [SUM_A; sum_A]  //每次将sum_A放在已构建矩阵下面，循环n次。
    end
)
Stand_A = A ./ SUM_A  %Stand_A即为归一化后的标准矩阵

%%第二步：将归一化的各列相加（按行求和——横着求和）[融到第三步中一起操作]
sum (Stand_A, 2)    %%执行判断矩阵结果相异时求平均的操作

%%第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp("算术平均法求权重的结果为： ")
disp(sum(Stand_A, 2) / n)

%%方法二：几何平均法求权重：

%第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc
Prduct_A = prod(A, 2)  
%prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加，dim = 2维度是行

%第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
%这里对每一个元素进行乘方操作，因此要使用点乘

%第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
%将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为： ');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

%%方法三：特征值法求权重

%第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

[V,D] = eig(A)  % V是特征向量，D是由特征值构成的对角矩阵
Max_eig = max(max(D))  % 也可写成 max(D(:)), Max_eig为最大特征值
 %那么怎么找到最大特征值所在的位置？（需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的 
                                   位置索引）
%那么我们就需要将包含所有特征值的对角矩阵中，所有不等于最大特征值的位置变为0
%这时候就需要用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
%找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，并记录它的行和列

%第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V（：，c）
disp('特征值法求权重的结果为： ');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
%我们先根据上面找到的最大特征向量的列数c找到对应的特征向量， 然后再进行标准化


%%计算一致性比例CR

CI = （Max_eig - n）/ (n - 1)
RI = [0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59] 
CR = CI / RI(n)
disp('一致性指标CI= '); disp(CI)
disp('一致性比例CR= '); disp(CR)
if CR < 0.10 
   disp('因为CR < 0.10 . 所以该判断矩阵A的一致性可以接受');
else 
   disp('CR >= 0.10. 因此该判断矩阵A需要进行修改')
end

























   

模型拓展：

（1）决策层可以有多层，如子决策层，子子决策层.......

（2）一个决策可以只对应部分的方案，只需要在判断矩阵中将相应的方案权重设为0即可